On the rational approximation to the Thue-Morse-Mahler numbers. (Sur l’approximation rationnelle des nombres de Thue-Morse-Mahler.) (English. French summary) Zbl 1271.11074

Bugeaud, Yann

Ann. Inst. Fourier 61, No. 5, 2065-2076 (2011).

Für \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) bezeichnet \(\mu(x)\), der Irrationalitätsexponent von \(x\), das Supremum aller \(\mu\in\mathbb{R}\), für die \(|x-p/q|<q^{-\mu}\) unendlich viele Lösungen \(p/q\in\mathbb{Q}\) hat. Dieser ist stets \(\geq2\), Lebesgue -‘fast immer’ gleich 2, insbesondere für alle algebraischen \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\). Andererseits kennt man nur wenige transzendente \(x\in\mathbb{R}\) mit \(\mu(x)=2\) und genau zu dieser Problematik leistet Verf. einen bemerkenswerten Beitrag. Es sei nämlich \((t_k)_{k\geq0}\) mit \(t_0:=0\) und \(t_{2k}:=t_k, t_{2k+1}:= 1-t_k\) für \(k\geq0\) die auf \(\{0,1\}\) definierte Thue-Morse-Folge und \(T(z):=\sum_{k\geq0}t_kz^k\) deren erzeugende Potenzreihe. Seit Mahler (1929) ist die Transzendenz von \(T(\beta)\) für jedes algebraische \(\beta\in\mathbb{C}\) mit \(0<|\beta|<1\) bekannt und Verf. zeigt hier \(\mu(T(1/b))=2\) für jedes \(b\in\mathbb{Z}_{\geq2}\).
Dabei arbeitet er mit der erzeugenden Potenzreihe \(S(z)\) der durch \((1-2t_k)_{k\geq0}\) definierten Thue-Morse-Folge auf \(\{1,-1\}\). Weil \(S\) und \(T\) via \(S(z)+2T(z)=1/(1-z)\) zusammenhängen, sind \(1,S(1/b),T(1/b)\) \(\mathbb{Q}\)-linear abhängig, weshalb die beiden letzteren (transzendenten) Zahlen gleichen Irrationalitätsexponenten haben. Mit Hilfe des Satzes von J.-P. Allouche et al., [Ann. Inst. Fourier 48, No. 1, 1–27 (1998; Zbl 0974.11010)], nach dem zu jedem \(k\in\mathbb{Z}_{>0}\) die Hankel-Determinante \(H_k(S)\) nicht verschwindet und die Padé-Approximation \([k-1/k]_S(z)\) existiert, wird eine unendliche Folge ‘guter’ rationaler Approximationen an \(S(1/b)\) konstruiert, die außerdem ‘sehr dicht’ ist. Hiermit kann \(\mu(S(1/b))\leq2+\varepsilon\) für jedes \(\varepsilon\in\mathbb{R}_+\) bewiesen werden. Bei dieser Konstruktion spielt die Funktionalgleichung \(S(z)=(1-z)S(z^2)\) von \(S\) eine entscheidende Rolle, die technisch einfacher als diejenige von \(T\) ist.

Reviewer: Peter Bundschuh (Köln)

MSC:

11J82	Measures of irrationality and of transcendence
11J04	Homogeneous approximation to one number

Keywords:

irrationality measure; Thue-Morse sequence; Padé approximant

Citations:

Zbl 0974.11010

Software:

OEIS

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