×

zbMATH — the first resource for mathematics

The distribution of the zeros of the Hermite-Padé polynomials for a pair of functions forming a Nikishin system. (English. Russian original) Zbl 1288.26010
Sb. Math. 204, No. 9, 1347-1390 (2013); translation from Mat. Sb. 204, No. 9, 115-160 (2013).
This is the full paper for the result announced in [E. A. Rakhmanov and S. P. Suetin, Russ. Math. Surv. 67, No. 5, 954–956 (2012); translation from Usp. Mat. Nauk. 67, No. 5, 177–178 (2012; Zbl 1273.41013)].
Given are two functions \(f_1,f_2\) analytic at \(\infty\) forming a Nikishin system with \(2p\) common double branch points on the real line. Let \(E\) be the union of the \(p\) intervals joining two successive branch points, \(f_1(z)=\int_E\frac{dm(x)}{z-x}\) is then a Markov function for some \(dm>0\) on \(E\) while \(f_2(z)=\int_E\frac{h(x)dm(x)}{z-x}\) with \(h\) the ratio of the jumps of \(f_1\) and \(f_2\) on \(E\). This \(h\) has a multivalued holomorphic extension outside \(E\) with a finite set of branch points symmetric w.r.t. \(\mathbb{R}\). Existence conditions and structure properties are derived for a stationary set \(F\) consisting of a number of analytic arcs defined by (the singularities of) \(h\). Two measures \(\lambda\) (supported on \(E\)) and \(\tilde{\lambda}\) (supported on \(F\)) are introduced so that \((\lambda,\tilde{\lambda})\) is the equilibrium measure for the external framed Nuttall condenser \((E,F)\) for an external field \(\psi(z)=3g_E(z,\infty)\) with \(g_E(z,\infty)\) the Green’s function for \(\overline{\mathbb{C}}\setminus E\). The vector valued equilibrium problem is solved by replacing it with a scalar problem with external field for which the classical techniques of A. A. Gonchar and E. A. Rakhmanov [Mat. Sb., Nov. Ser. 134(176), No. 3(11), 306–352 (1987; Zbl 0645.30026)] are applied.
The Hermite-Padé problem is to find three polynomials \(Q_{n,i}\) of degree \(n\) at most such that \((Q_{n,0}+Q_{n,1}f_1+Q_{n,2}f_2)(z)=O(z^{-(2n+2)})\) for \(z\to\infty\). It is proved that the zeros of \(Q_{n,j}\), \(j=1,2\) for \(n\to\infty\) are distributed like \(\tilde{\lambda}\).

MSC:
26C10 Real polynomials: location of zeros
41A10 Approximation by polynomials
42C05 Orthogonal functions and polynomials, general theory of nontrigonometric harmonic analysis
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, “Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций”, Матем. сб., 134(176):3(11) (1987), 306 – 352 · Zbl 0645.30026
[2] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, “Equilibrium distributions and degree of rational approximation of analytic functions”, Math. USSR-Sb., 62:2 (1989), 305 – 348 · Zbl 0663.30039
[3] J. Nuttall, “Asymptotics of diagonal Hermite – Pade polynomials”, J. Approx. Theory, 42 (1984), 299 – 386 · Zbl 0565.41015
[4] Р. К. Ковачева, С. П. Суетин, “Распределение нулей полиномов Эрмита – Паде для системы из трех функций и существование конденсатора Наттолла”, Тр. МИАН (в печати)
[5] А. И. Аптекарев, “Асимптотика аппроксимаций Эрмита – Паде для пары функций с точками ветвления”, Докл. РАН, 422:4 (2008), 443 – 445 · Zbl 1181.30022
[6] A. I. Aptekarev, “Asymptotics of Hermite – Padeápproximants for two functions with branch points”, Dokl. Math., 78:2 (2008), 717 – 719 · Zbl 1181.30022
[7] J. Nuttall, “Hermite – Padeápproximants to functions meromorphic on a Riemann surface”, J. Approx. Theory, 32:3 (1981), 233 – 240 · Zbl 0475.41018
[8] J. Nuttall, G. M. Trojan, “Asymptotics of Hermite – Padeṕolynomials for a set of functions with different branch points”, Constr. Approx., 3:1 (1987), 13 – 29 · Zbl 0612.41028
[9] P. Deift, Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann – Hilbert approach, Courant Lect. Notes Math., 3, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999 · Zbl 0997.47033
[10] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, S. P. Suetin, “On the rate of convergence of Padeápproximants of orthogonal expansions”, Progress in approximation theory (Tampa, FL, USA, 1990), Springer Ser. Comput. Math., 19, Springer-Verlag, New York, 1992, 169 – 190 · Zbl 0795.41013
[11] А. Мартинес-Финкельштейн, Е. А. Рахманов, С. П. Суетин, “Вариация равновесной энергии и \(S\)-свойство стационарного компакта”, Матем. сб., 202:12 (2011), 113 – 136 · Zbl 1244.31001
[12] A. Martinez-Finkelshtein, E. A. Rakhmanov, S. P. Suetin, “Variation of the equilibrium energy and the \(S\)-property of stationary compact sets”, Sb. Math., 202:12 (2011), 1831 – 1852 · Zbl 1244.31001
[13] В. И. Буслаев, А. Мартинес-Финкельштейн, С. П. Суетин, “Метод внутренних вариаций и существование \(S\)-компактов”, Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Тр. МИАН, 279, МАИК, М., 2012, 31 – 58
[14] V. I. Buslaev, A. Martinez-Finkelshtein, S. P. Suetin, “Method of interior variations and existence of \(S\)-compact sets”, Proc. Steklov Inst. Math., 279 (2012), 25 – 51 · Zbl 1298.30028
[15] Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, Наука, М., 1966 · Zbl 0148.10301
[16] англ. пер.: N. S. Landkof, Foundations of modern potential theory, Grundlehren Math. Wiss., 180, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg – New York, 1972 · Zbl 0253.31001
[17] E. A. Rakhmanov, “Orthogonal polynomials and \(\mathscr S\)-curves”, Recent advances in orthogonal polynomials, special functions, and their applications, Contemp. Math., 578, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 195 – 239 · Zbl 1318.30056
[18] A. Martińez-Finkelshtein, E. Rakhmanov, “Critical measures, quadratic differentials, and weak limits of zeros of Stieltjes polynomials”, Comm. Math. Phys., 302:1 (2011), 53 – 111 · Zbl 1226.30005
[19] С. П. Суетин, “Некоторый аналог вариационных формул Адамара и Шиффера”, ТМФ, 170:3 (2012), 335 – 341
[20] S. P. Suetin, “An analogue of the Hadamard and Schiffer variational formulas”, Theoret. and Math. Phys., 170:3 (2012), 274 – 279 · Zbl 1282.35141
[21] А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, “О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций марковского типа”, Теория чисел, математический анализ и их приложения, Тр. МИАН СССР, 157, 1981, 31 – 48 · Zbl 0492.41027
[22] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, “On convergence of simultaneous Padeápproximants for systems of functions of Markov type”, Proc. Steklov Inst. Math., 157 (1983), 31 – 50 · Zbl 0518.41011
[23] Е. М. Никишин, “Об асимптотике линейных форм для совместных аппроксимаций Паде”, Изв. вузов. Матем., 1986, \? 2, 33 – 41 · Zbl 0631.30036
[24] E. M. Nikishin, “The asymptotic behavior of linear forms for joint Pade approximations”, Soviet Math. (Iz. VUZ), 30:2 (1986), 43 – 52 · Zbl 0631.30036
[25] Е. М. Никишин, В. Н. Сорокин, Рациональные аппроксимации и ортогональность, Наука, М., 1988 · Zbl 0718.41002
[26] E. M. Nikishin, V. N. Sorokin, Rational approximations and orthogonality, Transl. Math. Monogr., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991 · Zbl 0733.41001
[27] А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, В. Н. Сорокин, “Об аппроксимациях Эрмита – Паде для систем функций марковского типа”, Матем. сб., 188:5 (1997), 33 – 58 · Zbl 0889.41011
[28] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, V. N. Sorokin, “Hermite – Padeápproximants for systems of Markov-type functions”, Sb. Math., 188:5 (1997), 671 – 696 · Zbl 0889.41011
[29] А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, “Системы марковских функций, генерируемые графами, и асимптотика их аппроксимаций Эрмита – Паде”, Матем. сб., 201:2 (2010), 29 – 78 · Zbl 1188.42009
[30] A. I. Aptekarev, V. G. Lysov, “Systems of Markov functions generated by graphs and the asymptotics of their Hermite – Padeápproximants”, Sb. Math., 201:2 (2010), 183 – 234 · Zbl 1188.42009
[31] М. А. Лапик, “Равновесная мера во внешнем поле для векторного потенциала с матрицей взаимодействия Никишина”, УМН, 67:3 (2012), 179 – 180 · Zbl 1253.31003
[32] M. A. Lapik, “Equilibrium measure for the vector logarithmic potential problem with an external field and the Nikishin interaction matrix”, Russian Math. Surveys, 67:3 (2012), 579 – 581 · Zbl 1253.31003
[33] В. В. Зудилин, “Арифметические гипергеометрические ряды”, УМН, 66:2 (2011), 163 – 216 · Zbl 1225.33008
[34] W. V. Zudilin, “Arithmetic hypergeometric series”, Russian Math. Surveys, 66:2 (2011), 369 – 420 · Zbl 1225.33008
[35] А. И. Аптекарев, А. Э. Койэлаарс, “Аппроксимации Эрмита – Паде и ансамбли совместно ортогональных многочленов”, УМН, 66:6 (2011), 123 – 190 · Zbl 1243.41004
[36] A. I. Aptekarev, A. Kuijlaars, “Hermite – Padeápproximations and multiple orthogonal polynomial ensembles”, Russian Math. Surveys, 66:6 (2011), 1133 – 1199 · Zbl 1243.41004
[37] А. И. Аптекарев, В. А. Калягин, Асимптотика корня \(n\)-й степени из полиномов совместной ортогональности и алгебраические функции, Препринт \? 60, Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша, М., 1986
[38] А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, Д. Н. Туляков, “Случайные матрицы с внешним источником и асимптотика совместно ортогональных многочленов”, Матем. сб., 202:2 (2011), 3 – 56 · Zbl 1216.60008
[39] A. I. Aptekarev, V. G. Lysov, D. N. Tulyakov, “Random matrices with external source and the asymptotic behaviour of multiple orthogonal polynomials”, Sb. Math., 202:2 (2011), 155 – 206 · Zbl 1216.60008
[40] A. I. Aptekarev, D. N. Tulyakov, Geometry of Hermite – Padeápproximants for system of functions \(\{f,f^2\}\) with three branch points, KIAM Preprint \? 77, KIAM, Moscow, 2012
[41] http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2012-77&lg=e
[42] A. I. Aptekarev, A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche, “Asymptotics of Hermite – Padeŕational approximants for two analytic functions with separated pairs of branch points (case of genus 0)”, Int. Math. Res. Pap. IMRP, 2008, ID 007 · Zbl 1156.41004
[43] А. Мартинес-Финкельштейн, Е. А. Рахманов, С. П. Суетин, “Вариация равновесной меры и \(S\)-свойство стационарного компакта”, УМН, 66:1 (2011), 183 – 184
[44] A. Martińez-Finkelshtein, E. A. Rakhmanov, S. P. Suetin, “Variation of the equilibrium measure and the S-property of a stationary compact set”, Russian Math. Surveys, 66:1 (2011), 176 – 178 · Zbl 1236.31001
[45] А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, С. П. Суетин, “Аппроксимации Паде – Чебышe\"ва для многозначных аналитических функций, вариация равновесной энергии и \(S\)-свойство стационарных компактов”, УМН, 66:6 (2011), 3 – 36 · Zbl 1243.30076
[46] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, S. P. Suetin, “Pade\' – Chebyshev approximants of multivalued analytic functions, variation of equilibrium energy, and the -property of stationary compact sets”, Russian Math. Surveys, 66:6 (2011), 1015 – 1048 · Zbl 1243.30076
[47] А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, “Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов”, Матем. сб., 125(167):1(9) (1984), 117 – 127 · Zbl 0618.30008
[48] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, “Equilibrium measure and the distribution of zeros of extremal polynomials”, Math. USSR-Sb., 53:1 (1986), 119 – 130 · Zbl 0618.30008
[49] E. B. Saff, V. Totik, Logarithmic potentials with external fields, Appendix B by Thomas Bloom, Grundlehren Math. Wiss., 316, Springer-Verlag, Berlin, 1997 · Zbl 0881.31001
[50] H. Stahl, “The convergence of Pade approximants to functions with branch points”, J. Approx. Theory, 91:2 (1997), 139 – 204 · Zbl 0896.41009
[51] A. Deano, D. Huybrechs, A. B. J. Kuijlaars, “Asymptotic zero distribution of complex orthogonal polynomials associated with Gaussian quadrature”, J. Approx. Theory, 162:12 (2010), 2202 – 2224 · Zbl 1223.41017
[52] Г. В. Кузьмина, Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы, Тр. МИАН СССР, 139, Наука, М., 1980 · Zbl 0482.30015
[53] G. V. Kuz/mina, “Moduli of families of curves and quadratic differentials”, Proc. Steklov Inst. Math., 139:1 (1982), 1 – 231 · Zbl 0491.30013
[54] A. Martińez-Finkelshtein, E. A. Rakhmanov, “On asymptotic behavior of Heine – Stieltjes and Van Vleck polynomials”, Recent trends in orthogonal polynomials and approximation theory, Contemp. Math., 507, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 209 – 232 · Zbl 1207.30058
[55] В. И. Буслаев, “О сходимости многоточечных аппроксимаций Паде кусочно аналитических функций”, Матем. сб., 204:2 (2013), 39 – 72
[56] V. I. Buslaev, “Convergence of multipoint Pade approximants of piecewise analytic functions”, Sb. Math., 204:2 (2013), 190 – 222 · Zbl 1276.41011
[57] А. А. Гончар, “О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций”, Матем. сб., 105(147):2 (1978), 147 – 163 · Zbl 0374.30029
[58] A. A. Gonc\?ar, “On the speed of rational approximation of some analytic functions”, Math. USSR-Sb., 34:2 (1978), 131 – 145 · Zbl 0407.30027
[59] А. А. Гончар, Е. А. Рахманов, “О задаче равновесия для векторных потенциалов”, УМН, 40:4 (1985), 155 – 156 · Zbl 0594.31010
[60] A. A. Gonchar, E. A. Rakhmanov, “On the equilibrium problem for vector potential”, Russian Math. Surveys, 40:4 (1985), 183 – 184 · Zbl 0594.31010
[61] А. А. Гончар, “Рациональные аппроксимации аналитических функций”, Совр. пробл. матем., 1, МИАН, М., 2003, 83 – 106
[62] A. A. Gonchar, “Rational approximation of analytic functions”, Proc. Steklov Inst. Math., 272, suppl. 2 (2011), S44 – S57 · Zbl 1295.41009
[63] Е. А. Рахманов, “К асимптотике многочленов Эрмита – Паде для двух марковских функций”, Матем. сб., 202:1 (2011), 133 – 140 · Zbl 1218.41007
[64] E. A. Rakhmanov, “The asymptotics of Hermite – Padeṕolynomials for two Markov-type functions”, Sb. Math., 202:1 (2011), 127 – 134 · Zbl 1218.41007
[65] А. И. Аптекарев, В. И. Буслаев, А. Мартинес-Финкельштейн, С. П. Суетин, “Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены”, УМН, 66:6(402) (2011), 37 – 122 · Zbl 1242.41014
[66] A. I. Aptekarev, V. I. Buslaev, A. Martinez-Finkelshtein, S. P. Suetin, “Padeápproximants, continued fractions, and orthogonal polynomials”, Russian Math. Surveys, 66:6 (2011), 1049 – 1131 · Zbl 1242.41014
[67] С. П. Суетин, “Об асимптотике знаменателей диагональных аппроксимаций Паде ортогональных разложений”, Докл. РАН, 356:6 (1997), 744 – 746 · Zbl 0972.41013
[68] S. P. Suetin, “Asymptotics of the denominators of the diagonal Padeápproximations of orthogonal expansions”, Dokl. Math., 56:2 (1997), 774 – 776 · Zbl 0972.41013
[69] Г. Сегe\", Ортогональные многочлены, Физматлит, М., 1962 · Zbl 0100.28405
[70] G. Szego\?, Orthogonal polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1959 · Zbl 0089.27501
[71] Ch. Remling, “Uniqueness of reflectionless Jacobi matrices and the Denisov – Rakhmanov theorem”, Proc. Amer. Math. Soc., 139:6 (2011), 2175 – 2182 · Zbl 1218.42011
[72] С. П. Суетин, “Сравнительная асимптотика решений и формулы следов для некоторого класса разностных уравнений”, Совр. пробл. матем., 6, МИАН, М., 2006, 3 – 74 · Zbl 1127.47030
[73] S. P. Suetin, “Comparative asymptotics of solutions and trace formulas for a class of difference equations”, Proc. Steklov Inst. Math., 272, suppl. 2 (2011), S96 – S137 · Zbl 1287.39010
[74] А. В. Комлов, С. П. Суетин, “Формула Видома для старшего коэффициента полинома, ортонормированного относительно переменного веса”, УМН, 67:1 (2012), 183 – 184 · Zbl 1281.42025
[75] A. V. Komlov, S. P. Suetin, “Widom/s formula for the leading coefficient of a polynomial which is orthonormal with respect to a varying weight”, Russian Math. Surveys, 67:1 (2012), 183 – 185 · Zbl 1281.42025
[76] А. В. Комлов, С. П. Суетин, “Асимптотическая формула для полиномов, ортонормированных относительно переменного веса”, Тр. ММО, 73, \? 2, МЦНМО, М., 2012, 175 – 200 · Zbl 1277.42031
[77] A. V. Komlov, S. P. Suetin, “An asymptotic formula for polynomials orthonormal with respect to a varying weight”, Trans. Mosc. Math. Soc., 2012, 139 – 159 · Zbl 1277.42031
[78] С. П. Суетин, “О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций”, Матем. сб., 191:9 (2000), 81 – 114 · Zbl 0980.41015
[79] S. P. Suetin, “Uniform convergence of Pade\' diagonal approximants for hyperelliptic functions”, Sb. Math., 191:9 (2000), 1339 – 1373 · Zbl 0980.41015
[80] А. А. Гончар, Г. Лопес Лагомасино, “О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде”, Матем. сб., 105(147):4 (1978), 512 – 524 · Zbl 0386.30021
[81] A. A. Gonc\?ar, G. L. Lopes, “On Markov/s theorem for multipoint Padeápproximants”, Math. USSR-Sb., 34:4 (1978), 449 – 459 · Zbl 0437.30027
[82] J. Nuttall, “Padeṕolynomial asymptotics from a singular integral equation”, Constr. Approx., 6:2 (1990), 157 – 166 · Zbl 0685.41014
[83] A. I. Aptekarev, W. Van Assche, “Scalar and matrix Riemann-Hilbert approach to the strong asymptotics of Padeápproximants and complex orthogonal polynomials with varying weight”, J. Approx. Theory, 129:2 (2004), 129 – 166 · Zbl 1061.30035
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.