Irrationality of infinite products. (English) Zbl 1299.11050

Hančl, Jaroslav; Kolouch, Ondřej

Publ. Math. Debr. 83, No. 4, 667-681 (2013).

Das Hauptresultat lautet folgendermaßen: Es seien \((a_{n,m})_{m,n\geq1}\) und \((b_{n,m})_{m,n\geq1}\) unendliche Matrizen natürlicher Zahlen, so dass die Folge \((a_{n,1})_{n\geq1}\) mit \(n\) genügend rasch anwächst. Weiter sei die Summe \(\sum_{j=1}^n b_{n-j+1,j}/a_{n-j+1,j}\) und das Produkt \(\prod_{j=1}^n a_{n-j+1,j}\) für jedes große \(n\) in (explizit angegebener, aber zur Reproduktion zu technischen) Abhängigkeit von \(a_{n,1}\) nach oben beschränkt. Dann ist das Produkt \(\prod_{m=1}^\infty (1+\sum_{n=1}^\infty b_{n,m}/a_{n,m})\) irrational.
Es wird eine Reihe von Anwendungen gegeben. Ist z. B. \((a_n)_n\) eine wachsende Folge natürlicher Zahlen mit \(\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n!}=\infty\), so ist das unendliche Produkt \(\prod_{m=1}^\infty(1+\sum_{n=0}^\infty1/(n+a_{m+n}))\) irrational.

Reviewer: Peter Bundschuh (Köln)

MSC:

11J72

Irrationality; linear independence over a field

Keywords:

irrationality; infinite products