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On alternating permutations. (Sur les permutations alternées.) (French) JFM 13.0152.02
Der Verfasser bezeichnet \(n\) Elemente mit \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\dots{}\alpha_{n}\) und bildet die sämmtlichen Permutationen. Er bildet die \((n-1)\) Differenzen, welche entstehen, wenn man den Index jedes Elements von dem Index des folgenden abzieht, und nennt diejenigen Formen, bei welchen diese Differenzen der ganzen Reihe nach abwechselnd positiv und negativ sind, alternirende Permutationen (Permutations alternées). Da jede solche Form alternirend bleibt, wenn sie in umgekehrter Reihenfolge geschrieben wird, so ergiebt sich unmittelbar, dass die Anzahl der alternirenden Permutationen durch 2 teilbar ist. Diese Anzahl wird für \(n\) Elemente durch \(2A_{n}\) bezeichnet. Da es für weniger als drei Elemente keine alternirenden Permutationen geben kann, so haben die Bezeichnungen \(A_{0} A_{1} A_{2}\) keinen Sinn; die Zeichen werden jedoch benutzt und es wird ihnen die Bedeutung gleich 1 beigelegt. Es wird die Recursionsformel abgeleitet: \[ 2A_{n+1}=C_{n}^{0}A_{0}A_{n}+C_{n}^{1}A_{1}A_{n-1}+C_{n}^{2}A_{2}A_{n-2}+\cdots+C_{n}^{n}A_{n}A_{0} \] und gezeigt, dass die erzeugende Function des Bruches \(A_{n}\over{n!}\) \[ tg({\pi\over{4}}+{x\over{2}})=A_{0}+A_{1}{x\over{1}}+A_{2}{x^{2}\over{1.2}}+ A_{3}\,{x^{3}\over{1.2.3}}+\cdots \] ist. Daraus werden unter Hinweisung auf die Arbeiten von Catalan die Reihen von \(\text{tg}x\) und \(\text{sec}x\) nach steigenden Potenzen von \(x\), sowie verschiedene andere Reihen und deren Beziehungen zu den elliptischen Functionen abgeleitet.
Zum Schluss folgen weitere Formeln zur leichteren Berechnung der Zahlenwerte für \(A_{n}\).
Reviewer: Lazarus, (Hamburg)

MSC:
05A05 Permutations, words, matrices
Keywords:
permutations
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