Elementary proofs of the fundamental laws of error probability. (Démonstrations élémentaires des lois fondamentales de probabilité des écarts dans les méthodes expérimentales.) (French) JFM 13.0156.01

Laquière, E.

S. M. F. Bull. IX, 69-89 (1881).

Der Verfasser giebt eine elementare Ableitung für die Theorie der Beobachtungsfehler und für das Fehlergesetz \(y=e^{-x^2}.\) Dieselbe geht von den Combinationsmöglichkeiten elementarer Abweichungen \(\varDelta\delta\) aus, wobei angenommen wird, dass der auftretende Fehler \(\delta\) als die Resultante von \(m\) Elementarfehlern \(\varDelta\delta\) anzusehen ist; von diesen haben \(m_{1}\) das positive, \(m_{2}\) das negative Vorzeichen. Dann wird \(\delta=n\varDelta\delta,\) wo \(n=m_{1}+m_{2}\), und es ergiebt sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler in den Grenzen \(\delta\) und \(\delta+\varDelta\delta\) liegt, gleich \[ y=P(\delta)={1\over{1.2\dots{}m_{1}.1.2\dots{}m_{2}}}. \] Lässt man nun \(m_{1}\) um eine Einheit wachsen, \(m_{2}\) um eine Einheit abnehmen, so bleibt \(m\) unverändert, es ändert sich aber \(n\) um 2 und \(\delta\) um 2\(\varDelta\delta\). Es folgt \[ y+2\varDelta y=P(\delta+2\varDelta\delta)=P(\delta){m_{2}\over{m_{1}+1}} \] und , indem man \(\varDelta\) bis zur Grenze abnehmen lässt, \[ y+2dy=P(\delta+2d\delta)=P(\delta){m_2\over m_1+1}=y{m-n\over m+n+2} \]
\[ dy=-y{n+1\over m+n+2}. \] Für \(n\) und \(m\) werden die Werte \({\delta\over d\delta}\) und \({K^ 2\over (d\delta)^2}\) eingeführt, und , indem man deren höhere Potenzen vernachlässigt, ergiebt sich \[ dy=-y\delta d\delta , \] aus welcher Gleichung durch Integration das Weitere folgt. Es wird ferner der Satz von Bernoulli, der Näherungsgrad des arithmetischen Mittels, die Bestimmung des Masses der Genauigkeit, der durchschnittliche Fehler, der mittlere Fehler erläutert und abgeleitet.

Reviewer: Lazarus, (Hamburg)

MSC:

62A99

Foundational topics in statistics

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre.

Keywords:

probabilty; experiment