On the sequence of Schwab. (Sur la suite de Schwab.) (French) JFM 13.0195.01

Tannery, J.

Darb. Bull. (2) V, 454-456 (1881).

Für die von Borchardt behandelte Aufgabe: “Es seien \(a\) und \(b\) zwei positive Zahlen und \[ a_1=\frac{a+b}{2}\,,\quad b_1=\sqrt{a_1b};\quad a_2=\frac{a_1+b_1}{2},\quad b_2=\sqrt{a_2b_1}\dots\,; \] die Grenze der unendlichen Reihe \(a, b, a_1, b_1, a_2, b_2,\dots\) zu bestimmen,” wird eine elementare Lösung gegeben, indem \[ \begin{aligned} & \text{für }a < b:\quad a = b \cos \alpha,\qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\\ \text{und } &\text{ für } a>b:\quad a = b \text{cosh\,}\alpha = b\,\frac{e^\alpha+e^{-\alpha}}{2}\,,\qquad \alpha>0\end{aligned} \] gesetzt wird.

Reviewer: Toeplitz, Dr. (Breslau)

MSC:

11B37

Recurrences

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 2. Besondere Reihen.

Keywords:

Arithmetic-geometric mean