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Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Räume von verschiedenen Dimensionen durch das Princip des Projicirens und Schneidens. (German) JFM 13.0485.01
Es ist bekannt, dass gewisse Sätze der Geometrie der Lage für ebene Gebilde, welche in dieser Disciplin grundlegend sind, mit Hülfe räumlicher höchst einfacher Figuren abgeleitet werden können. Eigenschaften der räumlichen Figur, welche keines Beweises bedürfen, werden auf die Eigenschaften der ebenen Figur, die nicht selbstverständlich erscheinen, übertragen. Es ist nun naheliegend, und mehrere Mathematiker haben sich schon mit Erfolg damit beschäftigt, zu zeigen, wie interessante projectivische Eigenschaften von Figuren im ebenen Raume \(R_3\) von drei Dimensionen aus einfachen selbstverständlichen Eigenschaften von Figuren in Räumen mit mehr als drei Dimensionen sich ergeben. Da eine directe Auschauung von solchen Räumen uns versagt ist, so wird die Grundlage der Operationen und Constructionen in denselben stets eine analytische sein, die freilich einfach genug ist. Es lassen sich dann die auf analytischem Wege gefundenen Fundamentalsätze in eine synthetisch-geometrische Form kleiden, und man kann dann mit ihnen operiren, wie man es in der Geometrie der Lage zu tun gewohnt ist. In dieser Weise verfähtr der Verfasser. Er stellt sich die Aufgabe, in consequenter Weise die \(n\)-dimensionale Geometrie zu benutzen, um die projectivischen Beziehungen in Räumen von vierschiedenen Dimensionen, daher auch in der Ebene und in gewöhnlichen Räumen zu studiren. Die Arbeit hat viele Berührungspunkte mit der Grassmann’schen Ausdehnungslehre, in welcher die hier verwendeten Principien zum ersten Male und vollständig durchgebildet auftreten.
Wir haben es mit einer Einleitung und fünf Abschnitten zu tun. Die Einleitung befasst sich mit der Aufstellung und Erklärung der Gebilde, welche in einem Fundamentalraume \(R_n\) von \(n\) Dimensionen möglich sind. Zwei beliebige Räume \(R_m\) und \(R_{m'}\) in \(R_n\) schneiden sich in einem Raume \(R_a\), wobei \(a =m +m' -n\) ist. Ist \(a =0\), so haben \(R_m\) und \(R_{m'}\) einen Punkt gemein; ist \(a\) negativ, so schneiden sich die Räume nicht. Im Allgemeinen schneiden sich \((s +1)\) Räume: \(R_m, R_{m^{(1)}} \ldots R_{m^{(s)}}\) in \(R_n\) in einem Raume \(R_q\), wobei \(q=\sum m^{(i)}.\sum d_k -s.n\)ist, und es können hier alle \(d\)verschwinden. Eine Curve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung wird definirt durch die Bewegung eines Punktes, die durch ein algebraisches Gesetz so bestimmt ist, dass der Punkt von seiner Anfangslage nur in zwei entgegengesetzten Richtungen fortrücken kann. Diese Curve ist von der \(m^{\text{ten}}\) Ordnung, wenn sie mit einem \(R_{n -1}\) in \(R_n\) in \(m\) Punkten geschnitten wird; sie kann nur in einem \(R_2 \ldots R_m\) enthalten sein. Wenn eine Curve sich stetig bewegt, so erzeugt sie einen \(2\)-dimensionalen Raum, der von der \(m^{\text{ten}}\) Ordnung ist,wenn er von einem beliebigen Raume \(R_{n -1}\) von \(R_n\) in einer Curve \(C^m\) geschnitten wird.
Abschnitt I. Configurationen aus einer endlichen Anzahl von linearen Räumen. Eine Fundamentalpyramide in \(R_n\) ist die einfachste Pyramide dieses Raumes und besteht aus \((n +1)\) beliebigen Punkten, welche nicht in einem niederen Raume liegen, und allen Räumen, welche diese Punkte mit einander verbinden. Unter den verschiedenen Arten einer Configuration von \(m\) Punkten versteht der Verfasser die verschiedenen Lagen, welche \(m\) Punkte in der Configuration annehmen können, ohne dass sie teilweise zusammenfallen, und ohne dass Rücksicht auf die metrischen Beziehungen genommen wird. Es wird dann folgender für die Aufstellung solcher Configurationen wichtige Satz bewiesen: “Jede Configuration von \(n +1\) oder weniger als \(n +1\) Punkten in einem Raume \(R_r\), die nicht gleichzeitig in einem niedrigeren Raume als \(R_r\) liegen, kann als Projection von unendlich vielen Fundamentalpyramiden in \(R_n\) oder als Schnitt unendlich vieler Fundamentalpyramiden eines höheren Raumes als \(R_r\) angesehen werden.”
Abschnitt II. Classification der Grundgebilde; projectivische Zuordnung. Analog der Bestimmung der Grundgebilde in der Geometrie der Lage wird hier definirt: “Das Grundgebilde \(n^{\text{ter}}\) Stufe ist der Raum \(R_n\) selbst. Die anderen Grundgebilde haben entweder einen Raum als Träger oder als Axe; d. h. entweder liegen sie “in einem Raume” oder sie gehen “durch einen Raum.” Zwei duale Räume wie \(R_m\) und \(R_{n -m -1}\) sind Träger und Axen von zwei dualen Gebilden derselben Stufe. Zwei Grundgebilde derselben Stufe, welche beide einen Träger oder eine Axe besitzen, heissen gleichartig, wenn sie durch duale Elemente erzeugt werden.” Es muss wohl hinzugefügt werden, dass diese dualen Elemente sich nicht auf \(R_n\) beziehen, sondern auf den Träger resp. die Axe. Wenn von zwei Grundgebilden das eine einen Träger \(S_m\) und das andere eine Axe \(S_{n -m -1}\) hat,so heissen sie gleichartig, wenn das zweite den Träger des ersten in einem zu diesem gleichartigen Gebilde schneidet. Der Verfasser beweist dann den Satz: “Wenn zwei Gruppen von \(n +1\) beliebigen Punkten \(A_{0}^{(1)} \ldots A_{0}^{(n +1)}; \; A_{0}^{1(1)} \ldots A_{0}^{1(n +1)}\) in zwei Räumen \(\sum_{n -1},\sum_{n -1}',\) ohne in niedrigeren Räumen zu liegen, enthalten sind, so kann man sie durch successives Projiciren und Schneiden aus \(n +1\) Punkten \(A_{(1)}^{(1)} \ldots A_{(n +1)}^{(n +1)}\) eines dritten Raumes \(\sum_{n -1}''\) erhalten und somit in einander überführen.” Er geht dann über zu der Definition der collinearen und reciproken Gebilde im Raume \(R_n\), wie sie durch Verallgemeinerung der von Möbius gegegebenen Definition in \(R_3\) folgt: “Zwei \(m\)-dimensionale Räume \(S_m\) und \({S'}_m\) heissen collinear oder reciprok verwandt, wenn einem Punkte \(R_0\) von \(S_m\) ein Punkt \({R'}_0\) oder ein Raum \({R'}_{m -1}\) von \({S'}_m\) entspricht, so dass, wenn der Punkt \(R_0\) ein Gebilde \(p^{\text{ter}}\) Stufe in \(S_m\) beschreibt, das entsprechende Element das entsprechende Gebilde \(p^{\text{ter}}\) Stufe von \({S'}_m\) beschreibt.” Ferner: “Zwei Gebilde \(m^{\text{ter}}\) Stufe um zwei Axen \(S_{n -m -1}, {S'}_{n -m -1}\) in \(R_n\) sind collinear oder reciprok auf einander bezogen, wenn sie von einem \(R_m\) in zwei collinearen oder reciproken Gebilden \(S_m, {S'}_m\) geschnitten werden.” Ist \(R_m\) eine Gerade, so folgt, dass zwei projective Gebilde erster Stufe in \(R_m\) gleichzeitig collinear und reciprok sind. Die Bemerkung, welche in Rücksicht hierauf über einen von Herrn Reye in seiner Geometrie der Lage ausgesprochenen Satz gemacht wird, beruht wohl auf einem Misverständnisse seitens des Verfassers. Da zwei colloneare Räume \(R_{n -1}\) in \(R_n\) durch \(n+1\) Paare von Punkten bestimmt sind, so schliesst man: “Zwei collineare Gebilde \((n -1)^{\text{ter}}\) Stufe \(S_{n -1}^{(1)}, S_{n -1}^{(2)}\) lassen sich durch fortgesetztes Projiciren und Schneiden mittels der Elemente eines dritten Gebildes \((n -1)^{\text{ter}}\) Stufe \(S_{n -1}^{(3)}\) in einander überführen.” Es werden in diesem Abschnitte noch in einander liegende collineare Räume betrachtet.
Abschnitt III. behandelt die \((n -1)\)-dimensionale Fläche zweiter Grades \(F_{n -1}^{(2)}\) und interessante Sätze über die \(F_{n -1}^{(2)}\), welche im Wesentlichen als Verallgemeinerungen von bekannten Sätzen über Flächen zweiten Grades in \(R_3\) angesehen werden können.
Abschnitt IV. Curven. Die Charactere einer Curve \(C^m\) in \(R_n\) ergeben sich in analoger Weise, wie diejenigen einer \(C^m\) in \(R_3\). Man hat hier aber die Beziehungen von \(C^m\) mit den Räumen \(R_1 \ldots R_{n -1}\) in Betracht zu ziehen, um die Charactere zu erhalten. Der Verfasser findet so für \(C^m 3n\) Charactere, zwischen welchen \(3(n -1)\) Gleichungen bestehen, die aus den Plücker’schen Formeln in ähnlicher Weise abgeleitet werden wie die Cayley’schen Gleichungen. Es ergiebt sich ebenso das Geschlecht \(p\) von \(C^m\) aus den Characteren. Interessante Anwendungen dieser Beziehungen werden gemacht. Der Verfasser nennt zwei Curven von derselben Art, wenn sie dieselben Charactere besitzen. Alle \(C^n\) von \(R_n\) gehören zu derselben Art, ihr Geschlecht ist Null, und sie heissen daher rationale Normalcurven des Raumes \(R_n\); sie haben keine stationären und keine Doppelelemente. Für \(p =1\) folgt: “Die elliptische Curve \(C^{n +1}\) in \(R_n\) hat keine doppelten oder stationären Elemente mit Ausnahme von \({(n +1)}^2\) stationären Räumen \(R_{n -1}\).” Alle elliptischen Curven \(C^{n +1}\) in \(R_n\) gehören also zu derselben Art. Folgende Sätze verdienen besondere Beachtung: “Jede beliebige Rationalcurve \(n^{\text{ter}}\) oder niedrigerer Ordnung in \(R_2, R_3 \ldots R_{n -1}\) ist immer die eindeutige Projection einer Normalcurve \(C^n\) des \(R_n\). Jede rationale Curve \(n^{\text{ter}}\) oder niedrigerer Klasse in \(R_2 \ldots R_{n -1}\) kann immer durch geeignetes Schneiden aus der developpablen Fläche einer \(C^n\) in \(R_n\) erhalten werden.” Es schliessen sich hieran noch einige Sätze über Curven mit beliebigem \(p\).
Abschnitt V. Erzeugnisse durch collineare Grundgebilde. In diesem Abschnitte wird eine Reihe von Sätzen vorgetragen, welche den bekannten Sätzen über die Erzeugnisse von collinearen Gebilden in \(R_2\) und \(R_3\) entsprechen. Es kommt dabei die doppelte Erzeugung solcher Gebilde, wie sie von Herrn Schur (Klein Ann. XVIII. 1-33, s. die folgende Seite) betrachtet worden ist, zur Sprache. Der Verfasser wendet sich dann zu den Rationalcurven \(C^n\) in \(R_n\) und giebt als Beispiel die \(C^4\) in \(R_4\) aus welcher alle Eigenschaften der rationalen \(C^4\) in \(R_2\) und \(R_3\) folgen. Weiter werden die in eine Ebene eindeutig abbildbaren Linienflächen behandelt. Für den Raum \(R_n\) giebt es eine Normalfläche \(F_2^{n -1}\), welche eine Schaar gerader Linien enthält. Für sie gilt der Satz: “Jede beliebige in eine Ebene eindeutig abbildbare Linienfläche in \(R_3, R_4 \ldots R_{n -1}\) von niederer als der \(n^{\text{ten}}\) Ordnung ist immer die eindeutige Projection einer Normalfläche \(R_1\ldots F_2^{n -1}\) in \(R_n\).” Es werden dann die Regelfläche dritter Ordnung und einige andere Fläche vierter und sechster Ordnung, die in einer Ebene eindeutig abbildbar sind, untersucht.

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