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Ueber die Abhängigkeit der Charaktere einer durch Leitcurven bestimmten Regelfläche von den Charakteren dieser Leitcurven. (German) JFM 13.0517.03
Die vorliegende Abhandlung bildet insofern eine wesentliche Ergänzung gewisser von Salmon, Cayley und auch von Picquet, Zeuthen und dem Referenten unternommenen Untersuchungen, als sie die Charaktere des Ortes der Strahlen, welche entweder jede von drei Curven einfach oder eine Curve zweifach, eine zweite einfach oder endlich eine Curve dreifach schneiden, durch die Charaktere der gegebenen Leitcurven auch in dem Falle ausdrückt, wo diese Leitcurven stationäre Punkte haben. Bei der Ableitung seiner Formeln macht der Verfasser einerseits von der Zeuthen’schen Geschlechtsformel für zwei auf einander bezogene Curven, andererseits von den in den erweiterten Correspondenzsätzen und dem Princip von der Erhaltung der Anzahl gipfelnden Methoden des Referenten Gebrauch. Den Ausgangspunkt für die Bestimmung der Charaktere der Regelflächen bildet in jedem von den drei Flächen erstens die Erkenntnis, dass die stationären Erzeugenden einer Regelfläche nur von den stationären Punkten der Leitcurven herrühren können, und zweitens die Erkenntnis, dass eine Ebene, welche eine Regelfläche in zwei Punkten einer Erzeugenden berührt, dieselbe in allen Punkten berühren muss, dass also die Erzeugende eine Torsallinie sein muss.Von den Resultaten des Verfasser mögen in diesem Referate nur diejenigen Platz finden, welche den Rang der erzeugten Regelflächen durch die Charaktere der Leitcurven ausdrücken, da die Ordnung der Regelflächen schon von Andern auf mehrfache Weise bestimmt ist, und nach der Ordnung wohl der Rang die wichtigste Singularitätenzahl ist. Es bezeichne immer \(m_i\) die Ordnung der Leitcureven \(C_i, r_i\) ihren Rang \(h_i\) die Zahl ihrer scheinbaren Doppelpunkte, \(\beta_i\) die Zahl ihrer stationären Punkte. Dann ist der Rang der Regelfläche, deren Erzeugende jede der Curven \(C_1, C_2, C_3\) einfach schneiden, gleich: \[ 2m_1 m_2 m_3 +m_1 m_2r_3 +m_2 m_3 r_1 +m_3 m_1 r_2, \] und der Rang der Regelfläche, deren Erzeugende \(C_1\) zweifach und \(C_2\) einfach schneiden, gleich \[ r_1 m_2 (m_1 -3) +m_1 m_2(m_1 -1) +h_1 r_2 -3\beta_1 m_2, \] und der Rang der Regelfläche, die von den Dreipunkten-Secanten einer Curve \(C\) gebildet wird, gleich \[ -2h^2 +h(m^2 +5m -24) -\frac16 (16m^3 -84m^2 +104m) -3\beta (h -2m +6). \]
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