×

Ueber binäre Formen und die Gleichung sechsten Grades. (German) JFM 14.0064.01

Eine der Grundaufgaben der Invariantentheorie (der algebraischen Formen) ist die Ermittelung der (ganz) rationalen Abhängigkeit der invariantiven Formen von den gegebenen Grundformen (d. h. von den Coefficienten derselben). Die Umkehrung aber dieser Darstellung, die irrationale Abhängigkeit der letzteren Formen von den ersteren, ist bis jetzt nur in ganz vereinzelten Fällen, jedenfalls nicht principiell in Angriff genommen. Die vorliegende Arbeit macht in dieser Richtung einen wesentlichen Schritt vorwärts, indem sie die Combinanten eines Systems von \(p\) binären Formen \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung in irrationaler Weise von einer gewissen erzeugenden Function abhängen lässt, die dann das gegebene System gradezu zu ersetzen im Stande ist.
Bekanntlich hat Herr Gordan eine Form mit mehreren Reihen von Veränderlichen aufgestellt, aus der die Combinanten eines gegebenen Formensystems durch rationale Processe hervorgehen. In dem hier vorliegenden einfachen Falle ist diese Form die \(p\)-reihige Determinante der gegebenen, in den Variabelnreihen \((x_1y_1,\ldots x_py_p)\) geschriebenen Determinante. Von dieser Form gelangt der Herr Verfasser zu der gewünschten (weit einfacheren), indem er die \(\frac{p(p-1)}{2}\) Differenzen der Variabeln, die die Determinante zu Factoren besitzen muss, auf eine eigentümliche Weise absondert, und dann die \(p\) (nicht homogenen) Variabeln einander gleich setzt. Diese neue Form \(W(x)\), gleichfalls als Deterininante (von \(n+1\) Reihen) darstellbar, denke man sich nach den Potenzen von \(x\) ausgerechnet, dann sind die Coefficienten linear und homogen in den \(p\)-reihigen Determinanten der durch die gegebenen Formencoefficienten gebildeten Matrix.
Eine zweite Darstellung dieser Form \(W(z)\) ist die als Determinante der \(p^{\mathrm ten}\) Differentialquotienten der Formen \(f\) nach \(x, y\).
Zunächst wird von der Form \(W(x)\) die fundamentale Eigenschaft nachgewiesen, dass zwischen ihren Coefficienten keine Relationen stattfinden (vorausgesetzt, dass das Gleiche auch von den Coefficienten der Formen \(f\) gilt) d. h. also, dass die Form \(W\) immer zugleich mit den gegebenen Formen \(f\) eine allgemeine Form ihrer Ordnung ist. Die Anzahl ihrer Coefficienten beträgt \(p(n-p+1)+1\).
Umgekehrt lässt sich jede gegebene (allgemeine) binäre Form vom Grade \(N\) so oft in die Form \(W\) bringen, als die Zahl \(N\) sich in die beiden ganzzahligen Factoren \(p\) und \(n-p+1\) spalten lässt.
Zunächst scheint es allerdings, als ob die Zahl der Formen \(W\) die doppelte sein müsste; die genauere Untersuchung zeigt aber, dass je zwei dieser Formen, von denen die eine aus der anderen durch Vertauschung der beiden Factoren \(p\) und \(n-p+1\) hervorgeht, identisch sind. Dies drückt sich in dem wichtigen Combinantenprincip aus:
“Die Combinanten eines Systems von \(p\) binären Formen \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung \((n\geq p)\) sind der Zahl und Form nach identisch mit denen eines Systems von \(n-p+1\) Formen derselben Ordnung.”
Uebrigens wird dies Princip sofort auf ein System von Formen mit beliebig vielen Veränderlichen ausgedehnt, indem an die Stelle der Zahl \(n\) die um Eins vermehrte Anzahl der Terme einer solchen Form tritt. Die beiderseitigen Formen sind immer, mit Rosanes zu sprechen, je zu einander conjugirt.
Die dritte fundamentale Eigenschaft der Form \(W(x)\) ist die, dass ihre Discriminante in zwei in den \(\alpha,\beta\ldots\) (d. s. den \(p\)-gliedrigen Determinanten aus den Coefficienten der \(f\)) rationale Factoren \(U, C\) zerfällt, von denen der erste in den \(\alpha,\beta,\ldots\) vom Grade \((p+1)(n-p)\), der zweite vom Grade \((p-l)(n-p+2)\) ist. Zugleich wird die Bedeutung des Verschwindens eines dieser beiden Factoren entwickelt.
Von diesen Principien wird eine ausführliche Auwendung auf die Functionaldeterminante zweier binärer Formen (dritten und ) vierten Grades gemacht. Um eine allgemeine Form (vierten) sechsten Grades auf die Form \(W\) zu bringen, bedarf es der Auflösung einer Hülfsgleichung (zweiten) fünften Grades. Die Notwendigkeit, diese Hülfsgleichung der gegebenen Form zu adjungiren, steht in engstem Zusammenhang mit den (ein) drei Relationen, die zwischen den Determinanten \(\alpha,\beta,\ldots\) bestehen.
Eben diese Hülfsgleichung fünften Grades dient weiter dazu, lineare Substitutionen aufzustellen, durch welche die Form \(W\) vom sechsten Grade auf gewisse canonische Formen gebracht werden kann, zu denen man folgendermassen gelangt.
Man ersetze die zwei gegebenen Formen vierten Grades durch irgend drei zu ihnen conjugirte \(f_1,f_2,f_3\). Unter den aus diesen durch lineare Combination entstehenden Formen befinden sich (ohne Rücksicht auf willkürliche constante Factoren) einmal drei Formen \(\varphi_1\varphi_2, \varphi_2\varphi_3, \varphi_3\varphi_1\), (wo die \(\varphi\) quadratische Formen sind), sodann vier Quadrate \(\psi_1^2,\ldots \psi_4^2\). Sind \(x_iy_i\) die Verschwindungswerte einer Form \(\varphi_i\) und \(\varepsilon_i \eta_i\) die einer Form, so geht mittels der Substitutionen \[ I. \quad x'=\frac{x-x_i}{x-y_i}\cdot \text{ const., resp. } II.\quad x'=\frac{x-\varepsilon_i}{x-\eta_i}\cdot \text{ const.} \] die Form \(W(x)\) in die resp. canonischen Formen über: \[ \begin{aligned} & I. x^6+2px^5+3qx^4 +4rx^3+ 3x^2+2px+q,\\ & II. x^6 + ax^4+ bx^3+ cx^2 + 1. \end{aligned} \] Dabei setzen also die Coefficienten der bezüglichen Substitionsformeln die Adjunction je einer Wurzel einer Gleichung fünften und einer dritten, resp. vierten Grades voraus.
Bildet man die Discriminante der Form I und deutet dabei die reellen \(p, q, r\) als rechtwinklige Coordinaten eines Raumpunktes, so gelangt man zu einer sehr instructiven Discussion der Realitätsverhältnisse der Wurzeln.
Im Weiteren treten die vier quadratischen Formen \(\psi_i\) namentlich in ihrem Zusammenhange mit den Wurzeln der Hülfsgleichung fünften Grades in den Vordergrund. Das Characteristische der vier Formen \(\psi_i\) ist, dass durch irgend drei derselben (beliebig anzunehmende) immer die vierte eindeutig so bestimmt ist, dass sowol zwischen den vier Formen, als ihren Quadraten eine lineare Identität herrscht.
Bildet man noch die sechs Functionaldeterminanten \(T_{ik}\) zweier der \(\psi\), so haben diese \(6+4=10\) quadratischen Formen die Eigenschaft, beim Uebergang von einer Wurzel der Gleichung fünften Grades zu einer anderen sich nur in gewisser Weise zu vertauschen, und zwar so, dass immer eines der \(\psi_i\) ungeändert bleibt, während die drei anderen \(\psi_k,\psi_l,\psi_m\) sich gegen die drei Formen \(T_{kl},T_{km},T_{lm}\) auswechseln.
Bei Zugrundelegung von drei der \(\psi\) gelingt es, alle hier auftretenden Formen mit Hülfe des vollen Systems der drei \(\psi\) auszudrücken.
Eine sehr einfache Uebersicht über den hier auftretenden Formenkreis erhält man, wie Referent hinzufügen möchte, wenn man die \(f_i\) als (homogene) Coordinaten eines variabeln Punktes einer rationalen ebenen Curve vierter Ordnung \(R\) deutet. Dann liefert \(W = 0\) die sechs Wendepunkte von \(R\), die \(\varphi_i\) sind die Argumentenpaare der Doppelpunkte, die \(\psi_i\) die der Berührungspunkte der Doppeltangenten. Von dem Schnittpunkt je zweier Doppeltangenten geht noch ein Tangentenpaar an die Curve; dies sind die sechs \(T_{ik}\).
Von jedem Punkt einer Doppeltangente \(D\) geht noch ein Tangentenquadrupel an \(R\), alle diese Quadrupel constituiren eine lineare Schaar mit der Functionaldeterminante \(W\).
Endlich hat auch die dem Doppeltangentenvierseit einbeschriebene Kegelschnittschaar mit \(R\) eine lineare Schaar von Tangentenquadrupeln gemein, deren Functionaldeterminante gleichfalls \(W\) ist. Diese fünf linearen Quadrupelschaaren entsprechen den fünf Wurzeln der Halfsgleichung, die letztere Schaar der ausgezeichneten Wurzel.
Der Uebergang von dieser Wurzel zu einer der vier andern vollzieht sich mittels einer quadratischen (Classen-)Transformation, die zu Fundamentalgeraden immer drei der vier Doppeltangenten \(D\) besitzt. Durch diese Transformation geht die Curve \(R\) wieder in eine solche über. Der Uebergang der zehn Formen \(\psi,T\) in sich fällt dann in die Augen.
Zum Schluss sei noch erwähnt, dass diese Untersuchungen in engstem Zusammenhang mit denen des Herrn Stéphanos und des Referenten stehen, ohne dass dieser Zusammenhang subjectiv irgendwie nachweisbar wäre. Wegen des Näheren sei auf die Schrift des Referenten über lineare Räume verwiesen.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML