Applications of Arbogast’s derivation to the solution of partitions of numbers and to other problems. (Applications de la dérivation d’Arbogast à la solution de la partition des nombres et à d’autres problèmes.) (French) JFM 14.0129.01

David

Résal J. (3) VIII, 61-72 (1882).

Eine Methode zur Entwickelung von \[ \varphi (a+a_1x+a_2x^2+\ldots ) \] nach ganzen Potenzen von \(x\), welche bisher nur von Lacroix reproducirt und verwandt worden, findet neue interessante Anwendungen auf eine Reihe von zahlentheoretischen und algebraischen Problemen, z. B. auf die Darstellung der Discriminante einer Gleichung, der Eliminationsresultante von zwei Gleichungen, auf die Umkehrung der Reihen. Es wird gezeigt, ganzzahligen Lösungen der bekannten Gleichung \[ p_1+2p_2+3p_3+\ldots \;=\;n \] sofort, ohne Rechnen und ohne Probiren, hinschreiben kann. Endlich giebt der Herr Verfasser noch eine besondere Darstellung der Bernoulli’schen Zahlen, z. B. der dritten: \[ B_3\;=\;\frac{1}{2^6.3^5.4^4.5^3.6^2.7} \left| \begin{matrix}\l\quad &\l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3.2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 4.3 & 4.3.2 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 5.4 & 5.4.3 & 5.4.3.2 & 0 \\ 1 & 6 & 6.5 & 6.5.4 & 6.5.4.3 & 6.5.4.3.2 \\ 1 & 7 & 7.6 & 7.6.5 & 7.6.5.4 & 7.6.5.4.3 \end{matrix} \right| , \] deren Gesetz einleuchtet.

Reviewer: Simon, Dr. (Berlin)

MSC:

05A17	Combinatorial aspects of partitions of integers
11B68	Bernoulli and Euler numbers and polynomials
11P81	Elementary theory of partitions

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Zahlentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Bernoulli numbers; partitions