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Limits of power series at the end points of the convergence interval. (Grenzwerte von Reihen an der Convergenzgrenze.) (German) JFM 14.0180.01

Wenn die Partialsummen \[ a_1+a_2+ \cdots +a_n\;=\;s_n \] für \(\lim\;n\;=\;+\infty\) endliche Unbestimmtheitsgrenzen \(G_1, H_1\) besitzen, so convergirt die Potenzreihe \[ a_1+a_2x+a_3x^2+ \cdots \] für alle Werte \(-1<x<+1\), und ihre Summe \(f(x)\) hat beim Grenzübergange \(\lim\;x\;=\;1-0\) endliche Unbestimmtheitsgrenzen \(G_2, H_2\), deren Unterschied nicht grösser sein kann als \(H_1-G_1\). Im Falle, dass für \(s_n\) ein Grenzwert bei \(\lim\;n\;=\;+\infty\) existirt, geht der Satz in einen bekannten Abel’schen über. Sind die \(s_1,s_2,s_3, \ldots\) nicht endlich, so bilde man \[ \frac{s_1+s_2+ \ldots +s_n}{n}\;=\;s'_n. \] Dann gilt der vorstehende Satz auch, wenn man \(s'_n\) setzt statt \(s_n\), und enthält als speciellen Fall einen Satz von Frobenius (siehe F. d. M. XII. 1880. p. 188, JFM 12.0188.01). Ihn weiter zu verallgemeinern gestatten wenigstens die Beweise des Herrn Verfassers nicht. Dagegen zeigt er den Satz: “Wenn \(\lim\;s'_n\) für \(\lim\;n\;=\;+\infty\) nicht existirt, so setze man \[ \begin{matrix} \frac{s_1'+s_2'+\ldots +s_n'}{n}\;=\;s_n'' \\ \hdotsfor1\\ \frac{s_1^{(\gamma -1)}+s_2^{(\gamma -1)}+\ldots +s_n^{(\gamma -1)}}{n}\;=\;s_n^{(\gamma )}; \end{matrix} \] ist nun \(\lim_{n=\infty} s^{(\gamma )}_n\;=\;c\) (endlich), so folgt \(\lim_{x=1}f(x)\;=\;c\).” Der Satz gilt auch für complexe Werte der \(a_n\).
Analoge Verallgemeinerung lässt der folgende auf Dirichlet zurückzuführende Satz zu: Es ist \[ \lim_{w=+0} \left\{ w\sum^{\infty}_{\nu =1}\frac{a_{\nu}}{\nu^{1+w}} \right\}\;=\;c, \] wenn \[ \lim_{n=+\infty}\frac{a_1+a_2+\ldots a_n}{n}\;=\;c. \]

MSC:

30B30 Boundary behavior of power series in one complex variable; over-convergence
40A05 Convergence and divergence of series and sequences

Citations:

JFM 12.0188.01
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