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On uniformly convergent definite integrals. (Sur les intégrales définies uniformement convergentes.) (French) JFM 14.0215.02

Der Verfasser sucht die Bedingung, unter der die Derivirte eines bestimmten Integrals für die Grenze unendlich durch Differentiation unter dem Integralzeichen gefunden wird, und wendet, da seine Betrachtung nicht zum Ziele führt, die Methode von Weierstrass an, die, bezüglich auf unendliche Reihen, den Begriff der gleichmässigen Convergenz (convergence uniforme) einführt. In Bezug auf Integrale lautet die Definition: Das Integral \[ \Phi(x)=\int^\infty_a f(x, z)dz \] heisst gleichmässig convergent, wenn man für alle Werte von \(x\) innerhalb eines Bezirks eine Zahl \(p\) so bestimmen kann, dass für \(m\overset{=}>p\) \[ \mod.\int^\infty_m f(x,z)dz<k \] wird, wo \(k\) eine beliebig klein gegebene Grösse bezeichnet. Er leitet dann den Satz her: “Wenn das Integral gleichmässig convergirt, so ist es eine für alte Werte des Parameters innerhalb des Bezirks der gleichmässigen Convergenz stetige Function, und man kann dieselbe durch Differentiation unter dem Integralzeichen differentiiren.” Hierzu folgen einige Beispiele.

MSC:

26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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Full Text: DOI Numdam EuDML