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On hypergeometric functions of two variables. (Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables.) (French) JFM 14.0277.01
Der Verfasser betrachtet die von Herr Appell eingeführte der hypergeometrischen Reihe analog gebildete Function zweier Veränderlicher (C. R. XC. 296, 731, 977, vgl. F. d. M. XII. 1880. p. 296 (JFM 12.0296.01, JFM 12.0296.02)): \[ F_1(\alpha, \beta, \beta', \gamma, x, y) = \sum \frac{(\alpha,m+n) (\beta,m) (\beta',n)}{\gamma, (m+n) (1,m) (1,n)} x^my^n, \] wo \[ (\lambda,k) = \lambda(\lambda+1)\cdots (\lambda+k-1), (\lambda,0)=1, \] und bemerkt, dass die zwei simultanen partiellen Differentialgleichungen, denen sie genügt, im Allgemeinen 60 gemeinsame Integrale haben von der Form: \[ x^l(1-x)^m y^{l'} (1-y)^{m'} (x-y)^n F_1(\lambda, \mu, \mu', \nu, t, t'), \] worin \(\lambda, \mu, \mu', \nu\) mit \(\alpha, \beta, \beta', \gamma\) in einfacher Beziehung stehen und \(t,t'\) rationale Functionen des ersten Grades von \(x\) und \(y\) sind.
Der Beweis ist demjenigen von Jacobi für die hypergeometrischen Reihen einer Veränderlichen in Crelle’s J. LVI. gegebenen nachgebildet und nimmt das von Herrn Picard als Lösung für die partiellen Differentialgleichungen aufgestellte Integral \[ \int_g^h u^{\beta+\beta' -\gamma} (u-1)^{\gamma- \alpha -1} (u-x)^{-\beta} (u-y)^{-\beta'} du \] (C. R. XC. 1119. Ann. de l’Ec. N. (2) X. vgl. F. d. M. XII. 1880. p. 328, JFM 12.0328.01) zum Ausgangspunkt, worin \(g\) und \(h\) zwei der fünf Grössen \(0,1,x,y,\infty\) bezeichnen. Jedes dieser zehn Integrale wird auf sechs verschiedene Arten mittelst hypergeometrischer Reihen mit zwei Veränderlichen ausgedrückt. Auf diese Weise ergeben sich die gedachten 60 gemeinsamen Lösungen.
MSC:
35-XX Partial differential equations
33C20 Generalized hypergeometric series, \({}_pF_q\)
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Full Text: Gallica