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Ueber eine Eigenschaft der partiellen Differentialgleichungen. (German) JFM 14.0289.02
Analog der fundamentalen Frage der Algebra nach den Bedingungen, unter welchen sämmtliche Wurzeln einer Gleichung einer zweiten Gleichung genügen, vorausgesetzt, dass es eine Wurzel tut, handelt es sich im vorliegenden Aufsatze darum, festzustellen, wann sämmtliche particulare Integrale einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit einer abhängigen und zwei unabhängigen Variablen \[ f \left (x,\;y,\;z,\;\frac{\partial z}{\partial x},\;\frac {\partial z}{\partial y} \right ) =0 \] (unter \(f\) eine rationale Function der Argumente verstanden) einer zweiten ebensolchen \[ F \left (x,\;y,\;z,\;\frac{\partial z}{\partial x},\;\frac {\partial z}{\partial y} \right ) =0 \] genügen, falls diese beiden Gleichungen überhaupt ein particuläres Integral gemein haben. Das Verfahren zur Aufsuchung des grössten gemeinsamen Teilers ergiebt als hinreichende Bedingungen heirfür: 1) \(f\) muss in Bezug auf die Differentialquotienten nach der einen Variablen in algebraischem Sinne irreductibel, und 2) das als gemeinsam vorausgesetzte Integral so beschaffen sein, dass es nicht einer gewöhnlichen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung nach der anderen unabhängigen Variablen genügt, in welcher die erste unabhängige Variable algebraisch enthalten ist. Dies Resultat ist wieterer Ausdehnungen fähig. Hat man an Stelle der zweiten Gleichung \(F=0\) eine Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, so tritt in der zweiten der obigen Bedingungen an Stelle der gewöhnlichen Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung eine solche \(m^{\text{ter}}\) Ordnung. Noch allgemeiner: Liegen zwei partielle Differentialgleichungen \(\mu^{\text{ter}}\), resp. \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung vor, und haben dieselben ein Integral gemein, enthält ferner für \(\nu\geq\mu\) die erste derselben den Differentialquotienten \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung nach der einen Variablen in der Weise, dass sie in Bezug auf diesen in algebraischen Sinne irreductibel ist, während das gemeinsame Integral der Bedingung unterliegt, nicht einer partiellen Differentialquotienten, nach jener eine Variablen genommen, die \(\mu^{\text{te}}\) Ordnung nicht erreichen, so wird die Gleichung \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung alle Integrale mit der Gleichung \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung gemein haben.
Dieselbe Bedingung ist auch dafür hinreichend, dass, falls zwischen einem Integrale \(z_1\) einer solchen \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung \((\nu\geq\mu)\) eine algebraische Beziehung besteht, (in welche auch die unabhängigen Variablen und die partiellen Ableitungen von \(z_1\) und \(z_2\) nach denselben eintreten dürfen), jene algebraische Relation auch erhalten bleibt, wenn man für \(z_1\) ein willkürliches Integral der Gleichung \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung setzt, vorausgesetzt, dass für \(z_2\) ein passendes Integral der Gleichung \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung substituirt werde.

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