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Sur le problème de Pfaff. (French) JFM 14.0294.01
C. R. XCIV, 835-837 (1882); Darb. Bull. (2) VI. 14-36, 49-68 (1882).
Pfaff fand bekanntlich die Reduction des Differentialausdrucks \[ (1) \qquad \theta_d=X_1 dx_1+\cdots+X_n dx_n \] auf eine gewisse canonische Form und gab damit zugleich die erste Methode für die Integration einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit einer beliebigen Anzahl unabhängiger Veränderlichen. Diese methode erschien gegenüber den später von Cauchy und Jacobi veröffentlichten Methoden zur Lösung desselben Problems dadurch im Nachteil, dass sie die Integration mehrerer Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen erforderte, während die genannten Mathematiker nachwiesen, dass die Integration des ersten dieser sogenannten Pfaff’schen Systeme zur Lösung der partiellen Differentialgleichung ausreicht. Dies hat nach der Meinung des Verfassers die Folge gehabt, dass die Pfaff’sche Methode lange Zeit vernachlässigt worden ist. Da sie indess in anderer Beziehung wesentliche Vorteile bietet, so beabsichtigt der Verfasser durch eine neue Darstellung der Theorie des Pfaff’schen Problems zu zeigen, dass die Pfaff’sche Methode, passend angewendet, ebenso einfach wie die anderen wird, und dass insbesondere der Differentialausdruck, der einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung entspricht, vermittelst der alleinigen Integration des ersten Pfaff’schen Systems auf die canonische Form reducirt werden kann. Es ist offenbar dem Verfasser entgangen, dass bereits Herr Natani in seiner 1860 in Crelle’s Journal erschienenen Abhandlung: “Ueber totale und partielle Differentialgleichungen” (siehe auch das Mathematische Wörterbuch von Natani, besonders abgedruckt in dem Werke: “die höhere Analysis in vier Abhandlungen”, Berlin, Wiegandt und Hempel 1866) von der Pfaff’schen Darstellungsweise ausgehend, eine sehr einfache Darstellung der in Rede stehenden Theorie gegeben hat, in der dieselbe Auswahl eines besondern Systems unter den Integralen des ersten Pfaff’schen Systems wie beim Verfasser, getroffen ist und für die partiellen Differentialgleichungen insbesondere das erwähnte einfache Resultat sich abgeleitet findet. Herr Natani nennt die betrachteten durch gewisse Eigenschaften ausgezeichneten Integrale “Hauptintegrale” und bezeichnet Jacobi als denjenigen, der sie zuerst charakterisirt hat. Aus einer Bemerkung des Herrn Darboux ersehen wir beiläufig, dass vorher schon Cauchy diese Integrale betrachtet hat. Die Methode des Herrn Darboux ist im Uebrigen dadurch bemerkenswert, dass er unter alleiniger Benutzung der invarianten Eigenschaft der Pfaff’schen Systeme fast ohne alle Rechnung die notwendige For der reducirten Ausdrücke des Differentialausdrucks (1) in allen Fällen ableitet und namentlich die Integrabilität des ersten Pfaff’schen Systems auch in den Fällen, wo die Zahl der von einander unabhängigen Gleichungen geringer als im allgemeinen Falle ist, nachzuweisen im Stande ist, ein Punkt, den zuerst Herr Frobenius (Ueber das Pfaff’sche Problem, Borchardt J. Bd. LXXXII.) auf anderem Wege als besondern Fall einer allgemeinen Satzes in directer Weise erledigt ist.
Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Zunächst wird gezeigt, dass \(\theta_d\) stets auf eine der beiden Typen \[ dy-z_1 dy_1-\cdots -z_p dy_p \qquad \text{(unbestimmter Typus)}, \] \[ z_1 dy_1+\cdots+z_p dy_p \qquad \text{(bestimmter Typus)} \] zurückgeführt werden kann. Gebraucht man mit dem Verfasser für die Aufstellung des ersten Pfaff’schen Systems die symbolische Schreibweise \(\sin\) \[ (2) \qquad \delta \theta_d - d \theta_{\delta}=\lambda \theta_{\delta} dt, \] aus der ihre invariante Eigenschaft unmittelbar hervorgeht, so tritt der erste Fall ein, wenn die Bestimmung der Verhältnisse der \(dx_i\) aus (2) unmöglich ist, so lange \(\lambda\) von Null verschieden ist. Die Zahl \(2p\) ist gleich der Anzahl der verschiedenen Gleichungen, auf die sich (2) reducirt, wenn \(\lambda=0\) gesetzt wird, und die dann, wie gezeigt wird, stets integrabel sind. Die Variablen \(y_i\) und \(z_i\) der reducirten Form sind ihre \(2p\) Integrale. Können die Verhältnisse der \(dx_i\) aus (2) bestimmt werden, wenn \(\lambda\) von Null verschieden ist, dann tritt der zweite Fall ein. Die Zahl \(2p\) ist wieder die der verschiedenen Gleichungen, auf die sich (2) reducirt, und die ebenfalls in allen Fällen integrabel sind. Ihre von \(t\) unabhängigen \(2p-1\) Integrale sind \(y_1,\ldots,\;y_p, \frac {z_2}{z_1},\cdots,\frac {z_p}{z_1}.\) Den Schluss des ersten Teils bildet der Nachweis, dass die verschiedenen Pfaff’schen Systeme, deren Integration zur Herstellung der canonischen Form notwendig ist, durch Einführung der erwähnten Hauptintegrale sich unabhängig von einander aufstellen lassen, und dass im Falle der partiellen Differentialgleichung bereits die Integration des ersten Systems die verlangte canonische Form liefert, aus der dann die Lösung der partiellen Differentialgleichung sich ergiebt. Der zweite Teil beschäftigt sich mit den Relationen, die zwischen zwei reducirten Formen von (1) stattfinden, und enthält insbesondere den Beweis dreier Sätze des Herrn Lie, die seiner Gruppentheorie zur Basis dienen. (Vgl. den Bericht über die betr. Arbeiten des Herrn Lie in diesem Jahrbuche Bd. V. p. 196 ff., JFM 05.0196.01). Den Ausgangspunkt bildet hier für den Fall eines graden \(n\) die invariante Eigenschaft der beiden Ausdrücke \[ (\varphi)=\begin{vmatrix} a_1,\ldots,\;a_{n1},\;X_1\\ \hdotsfor1\\ \hdotsfor1\\ a_{1n},\ldots,\; a_{nn},\;X_n\\ \frac {\partial \varphi}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial \varphi}{\partial x_n},0\end{vmatrix}\,: \varDelta \quad \text{und}\quad (\varphi,\psi)= \begin{vmatrix} a_{11},\ldots,\; a_{1n} \cdot \frac {\partial \psi}{\partial x_1}\\ \hdotsfor1\\ \hdotsfor1\\ a_{1n},\ldots,\; a_{nn},\frac{\partial \psi}{\partial x_n}\\ \frac {\partial \varphi}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial \varphi}{\partial x_n},0\end{vmatrix}\;: \varDelta, \] wo \[ a_{i,k}=\frac {\partial X_i}{\partial x_k} - \frac {\partial X_k}{\partial x_i} \] ist, \(\varDelta\) die Determinante der \(a_{i,k}\) und \(\varphi\), \(\psi\) beliebige Functionen der \(x\) bedeuten. Ist \(n=2m\) und sind \[ p_1 dx_1 + \cdots + p_m dx_m,\; P_1 dX_1+\cdots + P_m dX_m \] zwei reducirte Formen desselben Differentialausdrucks, dann wird \[ (\varphi)=\varSigma p_i \frac {\partial \varphi}{\partial p_i}=\varSigma P_i \frac {\partial \varphi}{\partial P_i}, \] \[ (\varphi,\psi)=\varSigma \frac {\partial \varphi}{\partial p_i} \frac {\partial \psi}{\partial x_i}-\frac {\partial \psi}{\partial p_i} \frac {\partial \varphi}{\partial x_i} = \varSigma \frac {\partial \varphi}{\partial P_i} \frac {\partial \psi}{\partial X_i} - \frac {\partial \psi}{\partial P_i} \frac {\partial \varphi}{\partial X_i}; \] und indem man diese allgemeinen Gleichungen auf die Functionen \(X_i\) und \(P_k\) anwendet, erhält man unmittelbar die bekannten Relationen \[ (P_i)=P_i,(X_i)=0,(P_i X_i)=1,(P_i X_k)=0,(X_i X_k)=0,(P_i P_k)=0. \] Hierauf folgt die Ableitung des Lie’schen Satzes, dass, wenn \(k\) unabhängige Functionen \(X_1,\ldots,\; X_k\) der unabhängigen Variablen \(x_1,\ldots,\;x_m, p_1,\ldots,\; p_m\) gegeben sind, die den Gleichungen \[ (X_i)=0,\; (X_i,\;X_k)=0 \] genügen, sich stets \(2m-k\) andere Functionen \(X_{k+1},\ldots,X_m,\; P_1,\ldots,P_m\) angeben lassen derart, dass der Identität \[ P_1 dX_1+\cdots+P_m dX_m=p_1 dx_1+\cdots+p_m dx_m \] genügt wird. Daran schliessen sich die Beweise zweier anderen Lie’schen Sätze bezüglich der Identitäten \[ dZ-P_1 dX_1-\cdots - P_m dX_m=\varrho(dz-p_1 dx_1 - \cdots - p_m dx_m) \] und \[ P_1 dX_1+\cdots + P_m dX_m+d\varPi= p_1 dx_1+\cdots+p_m dx_m, \] die dem Falle, dass \(n\) ungrade und \(=2m+1\) ist, entsprechen.

MathOverflow Questions:
The meaning and purpose of "canonical''
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