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On a new and general condensation principle for the singularities of functions. (Ueber ein neues und allgemeines Condensationsprincip der Singularitäten von Functionen.) (German) JFM 14.0321.01

Hankel hat in seinen ,,Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden und unstetigen Functionen; ein Beitrag zur Feststellung des Begriffes der Function überhaupt“ (Tübinger Universitätsprogramm 1870, wieder abgedruckt in Klein’s Ann. Bd. XX. 63, cf. das vorhergehende Referat, JFM 14.0320.02) eine Methode ,,Condensationsprincip der Singularitäten“ gegeben, wonach sich aus Functionen \(\varphi(x)\), die an einer gegebenen Stelle irgend ein singuläres Vorkommnis darbieten, andere Functionen herstellen lassen, welche die genannte Unstetigkeit an unendlich vielen Stellen annehmen, und zwar an einer überall dichten Mannigfaltigkeit von Stellen. Die von Hankel gegebene Methode besitzt aber einerseits nicht die wünschenswerte Einfachheit, weil die aufgestellte Function noch durch secundäre Vorkommnisse complicirt erscheint, andererseits nicht volle Allgemeinheit, insofern die Mannigfaltigkeit der Stellen, für welche die Singularität in der gebildeten Function auftritt, sich auf die Menge der rationalen Zahlen beschränkt, ohne dass in der vorliegenden Form eine Erweiterung auf beliebige abzählbare Zahlenmengen möglich erscheint.
Herr Cantor giebt nun ein Bildungsgesetz (eine absolut und gleichmässig convergente Reihe) für eine solche Function an, welche die singulären Stellen für eine ganz beliebige, nur abzählbare Mannigfaltigkeit von Zahlenwerten besitzt, und wo die einzelne Singularität für sich jedesmal durch ein Glied in der Reihenentwickelung der Function charakterisirt erscheint. Ist nämlich \(\varphi(x)\) eine beliebige, abzählbare Menge von Stellen \(\omega_{1}\), \(\omega_{2}\),\(\ldots\), \(\omega_{\nu}\),\(\ldots\) gegeben, so setze man \[ f(x)=\sum_{\nu=1}^{\nu=\infty}c_{\nu} \cdot \phi(x-\omega_{\nu}), \] wo durch passende Wahl der Cofficienten stets die Reihe von \(f(x)\) absolut und gleichmässig convergent herzustellen ist. Dadurch ist dann eine Function gebildet, welche an allen Stellen \(x=\omega_{\nu}\) die durch die Function \(\varphi(x)\) vorgegebene Singularität besitzt und dabei im Allgemeinen sich sonst völlig regulär verhält. An diese allgemeine Formulirung reihen sich zwei specielle Beispiele, welche der Verfasser einer Mitteilung von Weierstrass verdankt. Einmal setze man \(\varphi(x)=\root{n}\of{x}\), so erhält man bei passender Wahl der Cofficienten \(c_{\nu}\) in \(f(x)\) eine Function, die jedesmal für \(x=\omega_{\nu}\) einem unendlich grossen Differentialquotienten besitzt, sonst aber für alle endlichen Werte von \(x\) endlich und stetig ist. Zweitens sei \[ \varphi(x)=x-\frac{1}{2}x \cdot \sin \left( \frac{1}{2}\log(x^{2}) \right), \] wo unter \(\log(x^{2})\) der reelle Wert verstanden ist. Bildet man jetzt \[ f(x)=\sum_{\nu=1}^{\nu=\infty}c_{\nu}\phi(x-\omega_{\nu}), \] wo die \(c_{1}\), \(c_{2}\), \(\ldots\), \(c_{\nu}\), \(\ldots\) positive Grössen sind, welche nur den Bedingungen, dass \[ \sum_{\nu=1}^{\nu=\infty}c_{\nu} \quad \text{und} \quad \sum_{\nu=1}^{\nu=\infty} \left[ \omega_{\nu} \right] c_{\nu} \] convergente Reihen sind, unterliegen (und das lässt sich für ganz beliebige Werte \(\omega_{\nu}\) realisiren), so wird gezeigt, dass \(f(x)\) eine stetige Function ist, welche ebenso wie \(\varphi(x)\) gleichzeitig mit \(x\) wächst und abnimmt, und dass sie mit Ausnahme der Stellen \(\omega_{\nu}\) stets einen bestimmten endlichen Differentialquotienten besitzt, für jene Stellen aber einen innerhalb gewisser angebbarer Grenzen unbestimmten Differentialquotienten.

MSC:

26A06 One-variable calculus
26A27 Nondifferentiability (nondifferentiable functions, points of nondifferentiability), discontinuous derivatives

Citations:

JFM 14.0320.02
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