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On the elliptic functions of the second kind. (Ueber die elliptischen Functionen zweiter Art.) (German) JFM 14.0389.01

Unter einer elliptischen Function zweiter Art versteht man, nach Hermite (C. R. LXXXV.), jede Function, welche im Endlichen überall den Charakter einer rationalen hat, und deren logarithmische Ableitung doppelt-periodisch ist. Im Vorliegenden wird die Theorie dieser Functionen auf die der Functionen erster Art zurückgeführt mit Hülfe der Function \[ q(u)= \frac{\sigma (2 \mu \omega + 2 \mu ' \omega ' -u)}{\sigma (2 \mu \omega + 2 \mu ' \omega ') . \sigma (u)}e^{(2 \mu \eta + 2 \mu ' \eta ')u} . \] Der Herr Verfasser beweist folgende allgemeinen Eigenschaften dieser Function: I. ,,Eine elliptische Function zweier Art, die für keinen Wert unendlich gross wird, verschwindet identisch.“ II. ,,Eine solche Function wird für ebenso viele incongruente Werte Null wie unendlich.“ III. ,,Sind \(a_{1}\), \(a_{2}\),\(\ldots\), \(a_{n}\) die incongruenten Werte, für die eine elliptische Function zweier Art verschwindet, und \(b_{1}\), \(b_{2}\),\(\ldots\), \(b_{n}\) die Werte, für die sie unendlich wird, so ist \[ \varSigma a- \varSigma b \equiv 2 \mu \omega + \mu ' \omega ' . `` \] Die folgenden Paragraphen behandeln die Addition und Multiplication und Division, ind die Transformation dieser Functionen.

MSC:

33E05 Elliptic functions and integrals
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Full Text: Crelle EuDML