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On a triangle, which sides can be expressed by integers, especially those whose relationsship of two angles results in an integer. (Sur un triangle dont les côtés sont exprimés par des nombres entiers, premiers entre eux et dans lequel le rapport de deux angles est un nombre entier.) (French) JFM 14.0470.01

Ist \( ABC \) ein Dreieck, in welchem der Winkel \( B \) das \( (n + 1)- \) fache des Winkels bei \( A \) ist, so ziehe man \( BD \) so, dass Winkel \( DBA \) dem Winkel bei \( A \) gleich wird, und hierauf \( DE \) parallel zu \( AB \) ; dann ist \( BDE \) ein Dreieck, in welchem der Winkel \( DBE \) gleich dem \( n- \) fachen des Winkels \( EDB \) ist. Wenn nun \( a_n, b_n, c_n \) die Seiten dieses letzteren Dreiecks, ferner \( a_{n + 1}, b_{n + 1}, c_{n + 1} \) die des ersten sind, so zeigt sich, dass \[ a_{n + 1} = \frac {a_n \; (b_n^2 + c_n^2 - a_n^2)}{c_n^2 - a_n^2} ; \quad b_{n + 1} = \frac {c_n \; (b_n^2 + c_n^2 - a_n^2)}{c_n^2 - a_n^2} ; \]
\[ c_{n + 1} = \frac {b_n \; (b_n^2 + c_n^2 - a_n^2)}{b_n^2} . \] Von diesen Formeln geht nun der Verfasser aus, um ganze Zahlen für die Seiten der in Rede stehenden Dreiecke zu finden. Zahlentheoretische Betrachtungen und die Benutzung der Gleichung \[ \frac {\sin{} n \varphi}{\sin{} \varphi} = 2^{n - 1} \; \cos{}^{n - 1} \varphi - 2^{n - 3} \cdot \frac {n - 2}{1} \cdot \cos{}^{n - 3} \varphi + \cdots \] führen dann zu der Lösung \[ a_n = q^n, \quad b_n = c_{n - 1} q , \]
\[ c_n = p^n - \frac {n - 1}{1} p^{n - 2} q^2 + \frac {(n - 2) \; (n - 3)}{1.2} p^{n + 4} q^4 + \cdots , \] wo \( p \) und \( q \) zwei ganze Zahlen sind, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Die Reihe beginnt mit \[ a_1 = q, \quad b_1 = q, \quad c_1 = p. \; . \] Hierauf wird noch von solchen Dreiecken gesprochen, bei welchen die Seiten durch auf einander folgende Zahlen gemessen werden. Soll z. B. der eine Winkel das Doppelte eines andern im Dreieck sein, so ist bei consecutiven Zahlen 4, 5, 6 die einzige Lösung.

MSC:

51M04 Elementary problems in Euclidean geometries
51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
51M20 Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces
53D50 Geometric quantization
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Full Text: DOI Numdam EuDML