Ueber cyklisch projective Punktquadrupel in zwei collinearen Räumen. (German) JFM 14.0548.01

Schröter, H.

Klein Ann. XX, 231-254 (1882).

Es werden in diesem Aufsatze zwei collineare Räume betrachtet, für welche cyklisch projective Punktgruppen existiren, und bei welchen die Zahl der einer Gruppe angehörigen Punkte gleich vier ist. Zunächst wird folgender Satz bewiesen: “Wenn zwei collineare Räume derart liegen, dass einmal von vier Paaren entsprechender Punkte \( \mathfrak {a a_1, b b_1, c c_1, d d_1} \) die Punkte \( \mathfrak {a = b_1, b = c_1, c = d_1, d = a_1} \) incident sind, so ist dies immer der Fall, d. h. wenn man, die collineare Beziehung in beiderlei Sinn aufgefasst, mit einem beliebigen Punkte \( \mathfrak {x = y_1} \) beginnt, den entsprechenden \( \mathfrak {y = z_1} \) , den zu \( \mathfrak {z_1} \) entsprechenden \( \mathfrak {z = t_1} \) und den zu \( \mathfrak {t_1} \) entsprechenden \( \mathfrak t \) ermittelt, so coincidirt dieser mit \( \mathfrak {x_1} \) .” Es sind somit die sämmtlichen Punkte und Ebenen des Raumes zu Quadrupeln angeordnet. Irgend zwei Quadrupel bilden allemal zwei Tetraeder, die gleichzeitig auf vier verschiedene Arten hyperbolisch liegen. Werden je zwei entsprechende Punkte eines Quadrupels durch Gerade verbunden, so entsteht ein windschiefes Vierseit, dessen Diagonalen zwei feste sich selbst entsprechende Geraden \( s \) und \( s' \) treffen. Die gegenüberstehenden Ecken eines solchen Vierseits sind stets entsprechende Punkte in einem geschaart involutorischen Systeme, dessen Axen \( s \) und \( s' \) sind. Auf jeder dieser Axen \( s \) und \( s' \) selbst befindet sich eine Involution entsprechender Punkte der collinearen Räume. Zum Schlusse wird gezeigt, dass und auf welche Weise zwei gegebene collineare Räume in Quadrupellage gebracht werden können.

Reviewer: Stahl, W., Prof. (Aachen)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare u. synthetische Geometrie. Capitel 5. neuere synthetische Geometrie. C. Besondere räumliche Gebilde.