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Sur les coordonnées curvilignes. (French) JFM 14.0586.01

Als Coordinaten eines in nächster Nähe einer Curve gelegenen Punktes \(M(x,y) \) können verwendet werden 1) die Länge \(n\) der zur Curve gezogenen Normale \(MP\), 2) die Länge \(\sigma\) des zwischen \(P\) und einem festen Curvenpunkte liegenden Bogens. Der Verfasser zeigt zunächst, dass, wenn \( u = f(x,y) \) gegeben ist, \(\frac {du}{d\sigma} \) und \( \frac {du}{dn} \) sich eindeutig durch \( \frac {du}{dx}, \frac {du}{dy} \) und den Winkel \(n\) zwischen der Normalen \(MP\) und der Axe der \(x\) ausdrücken lassen, wobei das gerade Stück \( dn \) noch durch ein Curvenelement ersetzt werden kann. Dagegen enthält im Ietzteren Falle die zweite Ableitung \( \frac {d^2u}{d\sigma dn} \) den die Krümmung von \(dn\) ausdrückenden Differentialquotienten \( \frac {dv}{dn} \) , ist also nicht mehr vollkommen bestimmt. Dieser Umstand ist von Cauchy bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen einer elastisch gekrtümmten Lamelle (Exercices de mathématiques, 1828. p. 285-325) ausser Acht gelassen. Die Differentialquotienten von \(u\) nach \(x\) und \(y\) lassen sich durch \( \sigma \) und \(n\) einfacher ausdrücken, als durch die von Lamé in seinen “Leçons sur les coordonnées curvilignes” benutzten Parameter \( \sigma \) und \(\sigma_1\) . Der Verfasser zeigt die Uebereinstimmung der Lamé’schen Formeln mit den seinigen und verallgemeinert die letzteren indem er die ersteren auf den Fall einer ,krummen Fläche ausdehnt und dann die Lame’schen Coordinaten in die seinigen transformirt. Endlich werden die Kirchhoff’schen Formeln für die Schwingungen einer elastischen Platte (Vorlesungen über mathematische Physik No. 30) durch Anwendung der Coordinaten \( \sigma \) und \(n\) auf eine sehr einfache und elegante Gestalt gebracht.
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