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Sur les courbes d’un système linéaire trois fois infini, qui touchent une courbe algébrique donnée par un contact du troisième ordre. (French) JFM 14.0601.01

Ist \( A = \varSigma \lambda_i \varphi_i = 0 \) die Gleichung eines Gewebes von Curven \( s^{\text{ter}} \) Ordnung, \( f = 0 \) eine Curve \( n^{\text{ter}} \) Ordnung, so sagen die Gleichungen \[ A = 0, \quad dA = 0, \quad d^2 A = 0, \quad d^3 A = 0, \]
\[ f = 0, \quad df = 0, \quad d^2 f = 0, \quad d^3 f = 0 \] aus, dass eine dreipunktige Berührung zwisehen einer Curve des Gewebes mit \(f\) stattfindet. Zur Bestimmung einer Curve, welche die gesuchten Berührungspunkte auf \(f\) ausschneidet, hat man aus den vorstehenden Gleichungen die \( \lambda \) und die ersten, zweiten und dritten Differentiale der homogenen Variablen \(x\) zu eliminiren. (Vergl. F. d. M. IX. 1877. 485 (JFM 09.0485.02) und die daselbst gegebene Literatur.) Diese Resultante wird mittels symbolischer Rechnung vollständig bestimmt und liefert in Uebereinstimmung mit den vom Verfasser bereits auf anderem Wege in den Vorlesungen von Clebsch entwickelten allgemeinen Resultaten eine Curve von der Ordnung \( 4 \left[ s + \frac 32 (n - 3)\right] . \) Gleichzeitig ist damit eine explicite Darstellung der Formen gewonnen, welche in dem bei dieser Frage in Betracht kommenden Brill’schen Reciprocitätssatze (Clebsch Ann. IV. 527, siehe F. d. M. III. 1871. 316, JFM 03.0316.01) auftreten. Der eingeschlagene Weg kann endlich dazu dienen, auch für ein beliebig vielfach lineares System von Curven die explicite Darstellung der analogen Bedingungen zu liefern.

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Full Text: DOI Numdam EuDML