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Sur des polygones dont les côtés sont tangents à une courbe et dont tous les sommets sont sur la courbe. (French) JFM 14.0675.01
Auf einer unicursalen Curve \( m^{\text{ten}}\) Grades werden die Punkte durch die Werte eines Parameters \(t\) ausgedrückt; und es wird dann durch einfache analytische Betrachtungen das Theorem bewiesen: Zieht man in einem Punkte \(t\) einer unicursalen Curve \(m^{\text{ten}}\) Grades eine Tangente, welche die Curve in den Punkten \( T_1 , T_2, \ldots , T_{m-2}\) schneidet, und ist die Gleichung, aus welcher \( T_1 , T_2, \ldots , T_{m-2}\) als Functionen von \(t\) gefunden wird, also \( f(T,t) = 0\), homogen für \(T\) und \(t\), so treffen sich die Tangenten, die die Curve in den Punkten \( T_1 , T_2, \ldots \) hat, paarweise in Punkten \(B\), welche gleichfalls auf der Curve liegen; die Tangenten, welche die Curve in den \(B\) hat, treffen sich zu dreien in Punkten \(C\) der Curve, u. s. w. Wenn man ferner von einem Punkte einer solchen Curve an dieselbe Tangenten zieht, so liegen deren Berührungspunkte paarweise auf je einer Curventangente, die Berührungspunkte dieser letzteren Tangente zu dreien wieder auf Curventangenten, u. s. w. Der Herr Verfasser betrachtet dann im Besondern Curven von der Gleichung \[ \alpha^m - \beta^p \gamma^{m \;p} = 0, \] wo \(\alpha \beta, \gamma\) drei lineare Functionen bezeichnen. Nachher wird eine Raumcurve betrachtet, welche die Gleichungen \[ x = t^p, \quad y = t^q, \quad z = t^r \] hat; construirt man in einem Punkt dieser Curve die Schmiegungsebene, welche die Curve in Punkten \(T\) trifft, so ist die Gleichung zwischen \(t\) und \(T\) homogen; die Schmiegunsebenen, welche die Curve in den Punkten \(T\) hat, bilden ein Polyeder, dessen Kanten die Curven treffen; construirt man weiter in diesen Treffpunkten an die Curve die Schmiegungsebenen, so treffen diese sich zu dreien wieder auf der Curve u. s. w. Die Gleichung für \(\frac Tt\) lautet hier: \[ (z^p - 1) qr (q-r) + (z^q - 1) rp (r-p) + (z^r - 1) pq (p-q) = 0, \] wo \( \frac Tt = z\) gesetzt ist.
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Full Text: DOI Numdam EuDML