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Sur un théorème relatif aux surfaces pour lesquelles coordonnées d’un point quelconque s’expriment par des fonctions abéliennes de deux paramètres. (French) JFM 14.0697.01

Der Herr Verfasser betrachtet Flächen, welche keine andere Singularitẗ haben, als Doppelcurven (Selbstschnitte), bei denen aber die beiden Tangentialebenen in jedem Punkt der Doppelcurve verschieden sind. Er versteht nach Clebsch unter dem Geschlecht einer Fläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung die Zahl der Coefficienten, welche in einer durch die Doppelcurve gelegten Fläche von der Ordnung \((n-4)\) willkürlich bleiben. Wenn sich nun die Coordinaten einer solchen Fläche durch Abel’sche Functionen zweier Parameter \(\alpha\) und \(\beta\) ausdrücken lassen, so kann das Geschlecht der Fläche die Einheit nicht überschreiten. Der Beweis dieses Satzes bildet den Inhalt der Arbeit; demselben ist ein kurzer Beweis des analogen Satzes für ebene Curven vorausgestellt. Dieser Satz lautet: “Wenn sich die Coordinaten eines beliebigen Punktes einer irreductiblen ebenen Curve \( m^{\text{ter}} \) Grades \(F(x, y) = 0\) durch doppelt-periodische Functionen einer Variablen \(z\) ausdücken lassen, so kann das Geschlecht der Curve die Einheit nicht übersteigen.” Der Gedankengang bei diesem Beweise ist folgender. Es wird vorausgesetzt, dass die Gleichung \(F(x, y) = 0\) in Bezug auf \(y\) vom \( m^{\text{ten}} \) Grade sei, und dass \( \frac yx\) für \(x\) gleich unendlich \(m\) endliche und verschiedene Werte habe.
Ist dann \[ \int \frac {f(x, y) dx}{F_y' (x,y)} \] ein Abel’sches Integral erster Gattung in Bezug auf die Gleichung \(F(x,y) = 0\), so muss der Ausdruck \[ \frac {f(x, y) \frac {dx}{dz}}{F_y' (x,y)} \] constant sein. Denn zunächst folgt aus der gemachten Voraussetzung, dass er doppelt-periodisch ist; dann aber lässt sich weiter beweisen, dass er keine Pole hat. Wäre nun das Geschlecht der Curve höher als Eins, so würde mindestens noch ein zweites Integral erster Gattung existiren, etwa \[ \int \frac {f_1(x, y) dx}{F_y' (x,y)}; \] also wäre auch \[ \frac {f_1(x, y) \frac {dx}{dz}}{F_y' (x,y)} \] constant, und deshalb auch der Quotient \[ \frac {f_1 (x,y)}{f(x,y)} \] constant. Die Punkte der Curve würden also einer Gleichung niederen Grades genügen. Dies ist gegen die Voraussetzung. Einen ganz analogen Gedankengang verfolgt der Verfasser bei dem Beweise des zuerst ausgesprochenen Satzes, und zwar geht er hierbei von homogenen Coordinaten aus.
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