×

New aspects of complexity theory for 3-manifolds. (English. Russian original) Zbl 1473.57058

Russ. Math. Surv. 73, No. 4, 615-660 (2018); translation from Usp. Mat. Nauk 73, No. 4, 53-102 (2018).
The notion of Matveev complexity of a 3-manifold was originally introduced by S. Matveev in [Sov. Math. Dokl. 38 (1), 75–78 (1989; Zbl 0674.57012), translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR 301, No. 2, 280–283 (1988)], by making use of the idea of representing the manifold by a spine of it. For each 3-manifold \(M\), its complexity \(c(M)\) is the minimum number of true vertices in an almost simple spine of \(M\).
The present work is a detailed and updated survey on the theory of complexity, both for closed 3-manifolds and for 3-manifolds with boundary. Infinite families of closed orientable manifolds and hyperbolic manifolds with totally geodesic boundary are presented, and the exact values of the Matveev complexity are given for them. New methods for computing complexity are described, based on calculation of the Turaev-Viro invariants and hyperbolic volumes of 3-manifolds.
The work contains a table with the number of different combinatorial tetrahedral tessellations and the number of different tetrahedral manifolds with at most 25 tetrahedra in the orientable case and at most 21 tetrahedra in the non-orientable case. In addition, knots and links are listed whose complements are tetrahedral manifolds with at most 12 tetrahedra.
A rich bibliography (89 titles) completes the paper.

MSC:

57K31 Invariants of 3-manifolds (including skein modules, character varieties)
57K30 General topology of 3-manifolds
57-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to manifolds and cell complexes

Citations:

Zbl 0674.57012

Software:

Regina; SnapPy; SnapPea
Full Text: DOI

References:

[1] Amendola, G.; Martelli, B., Non-orientable 3-manifolds of complexity up to 7, Topology Appl., 150, 1-3, 179-195, (2005) · Zbl 1068.57010 · doi:10.1016/j.topol.2004.11.011
[2] Anisov, S., Exact values of complexity for an infinite number of 3-manifolds, Mosc. Math. J., 5, 2, 305-310, (2005) · Zbl 1107.57008
[3] Benedetti, R.; Petronio, C., A finite graphic calculus for 3-manifolds, Manuscripta Math., 88, 3, 291-310, (1995) · Zbl 0856.57009 · doi:10.1007/BF02567824
[4] Бухштабер, В. М.; Ероховец, Н. Ю.; Масуда, М.; Панов, Т. Е.; Пак, С., Когомологическая жесткость многообразий, задаваемых трехмерными многогранниками, УМН, 72, 2-434, 3-66, (2017) · Zbl 1383.57038 · doi:10.4213/rm9759
[5] Бухштабер, В. М.; Панов, Т. Е., О многообразиях, задаваемых 4-раскрасками простых 3-многогранников, УМН, 71, 6-432, 157-158, (2016) · Zbl 1365.57040 · doi:10.4213/rm9738
[6] Burde, G.; Zieschang, H., de Gruyter Stud. Math., 5, (1985), Walter de Gruyter & Co.: Walter de Gruyter & Co., Berlin · Zbl 0568.57001
[7] Burton, B. A., Enumeration of non-orientable 3-manifolds using face-pairing graphs and union-find, Discrete Comput. Geom., 38, 3, 527-571, (2007) · Zbl 1133.57001 · doi:10.1007/s00454-007-1307-x
[8] Burton, B. A., A duplicate pair in the SnapPea census, Exp. Math., 23, 2, 170-173, (2014) · Zbl 1295.57022 · doi:10.1080/10586458.2014.886535
[9] Burton, B. A., The cusped hyperbolic census is complete, Trans. Amer. Math. Soc., (2014) · doi:10.1090/tran/6767
[10] Burton, B. A.; Budney, R.; Pettersson, W.; al., Et, Regina: Software for low-dimensional topology, (19992017)
[11] Callahan, P. J.; Hildebrand, M. V.; Weeks, J. R., A census of cusped hyperbolic 3-manifolds. With microfiche supplement, Math. Comp., 68, 225, 321-332, (1999) · Zbl 0910.57006 · doi:10.1090/S0025-5718-99-01036-4
[12] Casler, B. G., An imbedding theorem for connected 3-manifolds with boundary, Proc. Amer. Math. Soc., 16, 4, 559-566, (1965) · Zbl 0129.15801 · doi:10.2307/2033878
[13] Champanerkar, A.; Kofman, I.; Mullen, T., The 500 simplest hyperbolic knots, J. Knot Theory Ramifications, 23, 12, (2014) · Zbl 1310.57007 · doi:10.1142/S0218216514500552
[14] Culler, M.; Dunfield, N. M.; Goerner, M.; Weeks, J. R., SnapPy, a computer program for studying the geometry and topology of 3-manifolds
[15] Epstein, D. B. A.; Penner, R. C., Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds, J. Differential Geom., 27, 1, 67-80, (1988) · Zbl 0611.53036 · doi:10.4310/jdg/1214441650
[16] Фоминых, Е. А., Хирургии Дена на узле восьмерка: верхняя оценка сложности, Сиб. матем. журн., 52, 3, 680-689, (2011) · Zbl 1226.57031 · doi:10.1134/S0037446611030165
[17] Фоминых, Е. А., Верхние оценки сложности многообразий, склеенных из двух многообразий Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями, Вестник КемГУ, 3/2, 83-88, (2011)
[18] Fominykh, E.; Garoufalidis, S.; Goerner, M.; Tarkaev, V.; Vesnin, A., A census of tetrahedral hyperbolic manifolds, Exp. Math., 25, 4, 466-481, (2016) · Zbl 1344.57009 · doi:10.1080/10586458.2015.1114436
[19] Fominykh, E. A.; Ovchinnikov, M. A., On the complexity of graph-manifolds, Сиб. электрон. матем. изв., 2, 190-191, (2005) · Zbl 1150.57309
[20] Fominykh, E.; Wiest, B., Upper bounds for the complexity of torus knot complements, J. Knot Theory Ramifications, 22, 10, (2013) · Zbl 1290.57003 · doi:10.1142/S0218216513500533
[21] Frigerio, R.; Martelli, B.; Petronio, C., Complexity and Heegaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds, Pacific J. Math., 210, 2, 283-297, (2003) · Zbl 1061.57017 · doi:10.2140/pjm.2003.210.283
[22] Frigerio, R.; Martelli, B.; Petronio, C., Dehn filling of cusped hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, J. Differential Geom., 64, 3, 425-455, (2003) · Zbl 1073.57010 · doi:10.4310/jdg/1090427000
[23] Frigerio, R.; Martelli, B.; Petronio, C., Small hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, Exp. Math., 13, 2, 171-184, (2004) · Zbl 1068.57012 · doi:10.1080/10586458.2004.10504531
[24] Fujii, M., Hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary which are decomposed into hyperbolic truncated tetrahedra, Tokyo J. Math., 13, 2, 353-373, (1990) · Zbl 0729.57005 · doi:10.3836/tjm/1270132267
[25] Futer, D.; Kalfagianni, E.; Purcell, J. S., Dehn filling, volume, and the Jones polynomial, J. Differential Geom., 78, 3, 429-464, (2008) · Zbl 1144.57014 · doi:10.4310/jdg/1207834551
[26] Gabai, D.; Meyerhoff, R.; Milley, P., Minimum volume cusped hyperbolic three- manifolds, J. Amer. Math. Soc., 22, 4, 1157-1215, (2009) · Zbl 1204.57013 · doi:10.1090/S0894-0347-09-00639-0
[27] Haken, W., Theorie der Normalflächen, Acta Math., 105, 3-4, 245-375, (1961) · Zbl 0100.19402 · doi:10.1007/BF02559591
[28] Helling, H.; Kim, A. C.; Mennicke, J. L., A geometric study of Fibonacci groups, J. Lie Theory, 8, 1, 1-23, (1998) · Zbl 0896.20026
[29] Hildebrand, M.; Weeks, J., A computer generated census of cusped hyperbolic 3-manifolds, Computers and mathematics, 53-59, (1989) · Zbl 0674.57001
[30] Hilden, H. M.; Lozano, M. T.; Montesinos-Amilibia, J. M., The arithmeticity of the figure eight knot orbifolds, Topology’ 90, 1, 169-183, (1992) · Zbl 0767.57004
[31] Ishikawa, M.; Nemoto, K., Construction of spines of two-bridge link complements and upper bounds of their Matveev complexities, Hiroshima Math. J., 46, 2, 149-162, (2016) · Zbl 1361.57011
[32] Jaco, W.; Rubinstein, J. H.; Spreer, J.; Tillmann, S., (2017)
[33] Jaco, W.; Rubinstein, H.; Tillmann, S., Minimal triangulations for an infinite family of lens spaces, J. Topol., 2, 1, 157-180, (2009) · Zbl 1227.57026 · doi:10.1112/jtopol/jtp004
[34] Jaco, W.; Rubinstein, J. H.; Tillmann, S., Coverings and minimal triangulations of 3-manifolds, Algebr. Geom. Topol., 11, 3, 1257-1265, (2011) · Zbl 1229.57010 · doi:10.2140/agt.2011.11.1257
[35] Jaco, W.; Rubinstein, J. H.; Tillmann, S., Math. Ann., 356, 1, 1-22, (2013) · Zbl 1277.57021 · doi:10.1007/s00208-012-0824-y
[36] Kawauchi, A., A survey of knot theory, (1996), Birkhäuser Verlag: Birkhäuser Verlag, Basel · Zbl 0861.57001
[37] Kojima, S.; Miyamoto, Y., The smallest hyperbolic 3-manifolds with totally geodesic boundary, J. Differential Geom., 34, 1, 175-192, (1991) · Zbl 0729.53042 · doi:10.4310/jdg/1214446997
[38] Lackenby, M., The volume of hyperbolic alternating link complements, Proc. London Math. Soc. (3), 88, 1, 204-224, (2004) · Zbl 1041.57002 · doi:10.1112/S0024611503014291
[39] Maclachlan, C.; Reid, A. W., Grad. Texts in Math., 219, (2003), Springer-Verlag: Springer-Verlag, New York · Zbl 1025.57001 · doi:10.1007/978-1-4757-6720-9
[40] Martelli, B., Complexity of 3-manifolds, Spaces of Kleinian groups, 329, 91-120, (2006) · Zbl 1099.57018
[41] Martelli, B.; Petronio, C., Three-manifolds having complexity at most 9, Exp. Math., 10, 2, 207-236, (2001) · Zbl 1050.57018 · doi:10.1080/10586458.2001.10504444
[42] Martelli, B.; Petronio, C., A new decomposition theorem for 3-manifolds, Illinois J. Math., 46, 3, 755-780, (2002) · Zbl 1033.57011
[43] Martelli, B.; Petronio, C., Complexity of geometric 3-manifolds, Geom. Dedicata, 108, 15-69, (2004) · Zbl 1068.57011 · doi:10.1007/s10711-004-3181-x
[44] Матвеев, С. В., Преобразования специальных спайнов и гипотеза Зимана, Изв. АН СССР. Сер. матем., 51, 5, 1104-1116, (1987) · Zbl 0676.57002 · doi:10.1070/IM1988v031n02ABEH001083
[45] Матвеев, С. В., Универсальные 3-деформации специальных полиэдров, УМН, 42, 3-255, 193-194, (1987) · Zbl 0645.57003 · doi:10.1070/RM1987v042n03ABEH001431
[46] Матвеев, С. В., Сложность трехмерных многообразий и их перечисление в порядке возрастания сложности, Докл. АН СССР, 301, 2, 280-283, (1988) · Zbl 0674.57012
[47] Матвеев, С. В., Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных многообразий, Укр. матем. журн., 41, 9, 1234-1239, (1989) · Zbl 0697.57006 · doi:10.1007/BF01056281
[48] Matveev, S. V., Complexity theory of three-dimensional manifolds, Acta Appl. Math., 19, 2, 101-130, (1990) · Zbl 0724.57012
[49] Matveev, S., Algorithms Comput. Math., 9, (2003), Springer-Verlag: Springer-Verlag, Berlin · Zbl 1048.57001 · doi:10.1007/978-3-662-05102-3
[50] Матвеев, С. В., Распознавание и табулирование трехмерных многообразий, Докл. РАН, 400, 1, 26-28, (2005)
[51] Матвеев, С. В., Табулирование трехмерных многообразий, УМН, 60, 4-364, 97-122, (2005) · Zbl 1137.57023 · doi:10.4213/rm1446
[52] Matveev, S. V., Virtual 3-manifolds, Сиб. электрон. матем. изв., 6, 518-521, (2009) · Zbl 1299.57004
[53] Матвеев, С. В.; Фоменко, А. Т., Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий, УМН, 43, 1-259, 5-22, (1988) · Zbl 0671.58008 · doi:10.1070/RM1988v043n01ABEH001554
[54] Матвеев, С. В.; Николаев, Д. О., Структура трехмерных многообразий сложности ноль, Докл. РАН, 455, 1, 15-17, (2014) · Zbl 1303.57020 · doi:10.7868/S0869565214070044
[55] Матвеев, С. В.; Первова, Е. Л., Нижние оценки сложности трехмерных многообразий, Докл. РАН, 378, 2, 151-152, (2001) · Zbl 1048.57013
[56] Matveev, S.; Petronio, C.; Vesnin, A., Two-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic three-manifolds, J. Aust. Math. Soc., 86, 2, 205-219, (2009) · Zbl 1178.57013 · doi:10.1017/S1446788708000499
[57] Матвеев, С. В.; Савватеев, В. В., Трехмерные многообразия, имеющие простые специальные остовы, Colloq. Math., 32, 83-97, (1974) · Zbl 0294.57005 · doi:10.4064/cm-32-1-83-97
[58] Matveev, S.; Tarkaev, V.; al., Et, 3-manifolds recognizer
[59] Mednykh, A.; Vesnin, A., Visualization of the isometry group action on the Fomenko-Matveev-Weeks manifold, J. Lie Theory, 8, 1, 51-66, (1998) · Zbl 0891.57014
[60] Mednykh, A.; Vesnin, A., Covering properties of small volume hyperbolic 3-manifolds, J. Knot Theory Ramifications, 7, 3, 381-392, (1998) · Zbl 0899.57007 · doi:10.1142/S021821659800019X
[61] Meyerhoff, R.; Neumann, W. D., An asymptotic formula for the eta invariants of hyperbolic 3-manifolds, Comment. Math. Helv., 67, 1, 28-46, (1992) · Zbl 0791.57009 · doi:10.1007/BF02566487
[62] Milnor, J. W., Hyperbolic geometry: the first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 6, 1, 9-24, (1982) · Zbl 0486.01006 · doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8
[63] Minkus, J., Mem. Amer. Math. Soc., 35, (1982), Amer. Math. Soc.: Amer. Math. Soc., Providence, RI · Zbl 0491.57005 · doi:10.1090/memo/0255
[64] Moise, E. E., Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung, Ann. of Math. (2), 56, 96-114, (1952) · Zbl 0048.17102 · doi:10.2307/1969769
[65] Mulazzani, M.; Vesnin, A., The many faces of cyclic branched coverings of 2-bridge knots and links, Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 49, 177-215, (2001) · Zbl 1221.57009
[66] Paoluzzi, L.; Zimmermann, B., On a class of hyperbolic 3-manifolds and groups with one defining relation, Geom. Dedicata, 60, 2, 113-123, (1996) · Zbl 0857.57009 · doi:10.1007/BF00160617
[67] Petronio, C.; Vesnin, A., Two-sided bounds for the complexity of cyclic branched coverings of two-bridge links, Osaka J. Math., 46, 4, 1077-1095, (2009) · Zbl 1191.57012
[68] Piergallini, R., Standard moves for standard polyhedra and spines, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl., 18, 391-414, (1988) · Zbl 0672.57004
[69] Seifert, H., Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume, Acta Math., 60, 1, 147-238, (1933) · Zbl 0006.08304 · doi:10.1007/BF02398271
[70] Thistlethwaite, M., Cusped hyperbolic 3-manifolds constructed from 8 ideal tetrahedra, (2010)
[71] Thurston, W. P., A norm for the homology of 3-manifolds, Mem. Amer. Math. Soc., 59, 99-130, (1986), Amer. Math. Soc.: Amer. Math. Soc., Providence, RI · Zbl 0585.57006
[72] Thurston, W. P., Princeton Math. Ser., 35, (1997), Princeton Univ. Press: Princeton Univ. Press, Princeton, NJ · Zbl 0873.57001
[73] Turaev, V. G.; Viro, O. Y., State sum invariants of 3-manifolds and quantum, Topology, 31, 4, 865-902, (1992) · Zbl 0779.57009 · doi:10.1016/0040-9383(92)90015-A
[74] Веснин, А. Ю., Трехмерные гиперболические многообразия типа Лебелля, Сиб. матем. журн., 28, 5, 50-53, (1987) · Zbl 0635.53020 · doi:10.1007/BF00969312
[75] Веснин, А. Ю., Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лебелля, Матем. заметки, 64, 1, 17-23, (1998) · Zbl 0944.53022 · doi:10.4213/mzm1368
[76] Веснин, А. Ю., Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия, УМН, 72, 2-434, 147-190, (2017) · Zbl 1479.52018 · doi:10.4213/rm9762
[77] Веснин, А. Ю.; Фоминых, Е. А., Точные значения сложности многообразий Паолюци-Циммермана, Докл. РАН, 439, 6, 727-729, (2011) · Zbl 1234.57025 · doi:10.1134/S1064562411050139
[78] Веснин, А. Ю.; Фоминых, Е. А., О сложности трехмерных гиперболических многообразий с геодезическим краем, Сиб. матем. журн., 53, 4, 781-793, (2012) · Zbl 1255.57019 · doi:10.1134/S0037446612040052
[79] Веснин, А. Ю.; Фоминых, Е. А., Двусторонние оценки сложности трехмерных гиперболических многообразий с геодезическим краем, Proc. Steklov Inst. Math., 286, 65-74, (2014) · Zbl 1314.57018 · doi:10.1134/S0081543814060042
[80] Веснин, А. Ю.; Матвеев, С. В.; Фоминых, Е. А., Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценки, Сиб. электрон. матем. изв., 8, 341-364, (2011) · Zbl 1329.57027
[81] Веснин, А. Ю.; Матвеев, С. В.; Петронио, К., Двусторонние оценки сложности многообразий Лебелля, Докл. РАН, 416, 3, 295-297, (2007) · Zbl 1153.57014 · doi:10.1134/S1064562407050134
[82] Веснин, А. Ю.; Медных, А. Д., Гиперболические объемы многообразий Фибоначчи, Сиб. матем. журн., 36, 2, 266-277, (1995) · Zbl 0865.57012 · doi:10.1007/BF02110146
[83] Веснин, А. Ю.; Медных, А. Д., Многообразия Фибоначчи как двулистные накрытия над трехмерной сферой и гипотеза Мейергофа-Ноймана, Сиб. матем. журн., 37, 3, 534-542, (1996) · Zbl 0882.57011 · doi:10.1007/BF02104848
[84] Веснин, А. Ю.; Таркаев, В. В.; Фоминых, Е. А., О сложности трехмерных гиперболических многообразий с каспами, Докл. РАН, 456, 1, 11-14, (2014) · Zbl 1305.53045 · doi:10.7868/S0869565214130076
[85] Веснин, А. Ю.; Таркаев, В. В.; Фоминых, Е. А., Трехмерные гиперболические многообразия с каспами сложности 10, имеющие максимальный объем, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 20, 74-87, (2014) · Zbl 1329.57028 · doi:10.1134/S0081543815050211
[86] Веснин, А. Ю.; Тураев, В. Г.; Фоминых, Е. А., Трехмерные многообразия с бедными спайнами, Proc. Steklov Inst. Math., 288, 38-48, (2015) · Zbl 1328.57026 · doi:10.1134/S0371968515010033
[87] Веснин, А. Ю.; Тураев, В. Г.; Фоминых, Е. А., Сложность виртуальных трехмерных многообразий, Матем. сб., 207, 11, 4-24, (2016) · Zbl 1362.57028 · doi:10.4213/sm8700
[88] Weeks, J., Ph. D. Thesis, (1985)
[89] Zeeman, E. C., On the dunce hat, Topology, 2, 4, 341-358, (1963) · Zbl 0116.40801 · doi:10.1016/0040-9383(63)90014-4
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.