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Recherches sur les substitutions uniformes. (French) JFM 15.0114.01

Verstehen wir unter \(z\) eine complexe Grösse, unter \(\theta (z)\) eine eindeutige Function, und setzen wir \[ z_2=\theta (z_1),\quad z_3=\theta (z_2)=\theta^2(z_1),\ldots , \] dann heisst \(x\) der Grenzpunkt der Reihe \(z_1,\; z_2,\; z_3,\ldots ,\) falls \(\lim z_k =x\) ist. Wenn dabei stets \(|z_{k+1}-x|<|z_k-x|\) sich zeigt, dann nennen wir die Annäherung der \(z\) an \(x\) eine reguläre. Nur für solche Werte \(x\), für die \(\theta (x)-x=0\) ist, kann eine reguläre Annäherung eintreten; dabei wird zugleich \(|\theta '(z)|\leqq 1\). Ist umgekehrt \(\theta (x)-x=0\) und ausserdem \(|\theta '(x)|<1\), dann kann man um \(x\) einen Kreis beschreiben, dessen innere Punkte auf \(x\) als Grenzpunkt führen. Ist \(x\) Wurzel einer Gleichung \(\theta^p(z)-z=0\) und gleichzeitig \[ \left| \frac {d\theta^p(z)}{dz} \right| <1\quad \text{für}\quad z=x, \] ohne dass \(x\) eine Gleichung mit niedrigerem Index \(\alpha\) von der Form \(\theta^{\alpha}(z)-z=0\) befriedigt, dann nähert sich jede der Reihen \(z,\; \theta^p(z),\;\theta^{2p}(z),\ldots ;\;\theta (z),\;\theta^{p+1}(z),\;\theta^{2p+1}(z),\ldots ;\ldots\) einem bestimmten Grenzpunkte \(x,\; x_1,\ldots\) in regulärer Weise.

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