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Third memoir on the summation of series. (Troisième mémoire sur la sommation des séries.) (French) JFM 15.0181.01

In der gegenwärtigen Fortsetzung handelt es sich um die Summation der Reihe mit dem allgemeinen Gliede \[ U_n=\;\frac{p(p+1)(p+2)\cdots(p+n-1)}{1.2.3\dots n}\cdot u_n x^n, \] wo \(n\) eine ganze, nicht negative, \(p\) eine positive oder negative, aber nicht ganze Zahl und \(u_n\) das allgemeine Glied einer recurrenten Reihe bezeichnet. Das Resultat hat der Verfasser schon früher in den C. R. LXXXVIII. 740 f. (cf. F. d. M. XI. 1879. 171 f., JFM 11.0171.02) angegeben. Die Herleitung beruht darauf, dass auf die bekannte Darstellung von \(u_n\) nämlich \(u_n=\sum_{(a)} \xi_a(n).a_n\), worin \(a\) irgend eine Wurzel der erzeugenden Gleichung der recurrirenden Reihe, und wenn \(\alpha\) ihre Multiplicität, \(\xi_a(n)\) eine ganze Function \((\alpha-1)^{\text{ten}}\) Grades \[ A_0+A_1 n + A_2n^2+\cdots + A_{\alpha-1} n^{\alpha-1} \] bedeutet, die von J. F. W. Herschel in seinem Calculus of finite differences (1820) wohl zuerst angegebene Formel \[ n^t = \varDelta^1 0^t {n\choose 1} + \varDelta^2 0^t {n\choose 2} + \varDelta^3 0^t {n\choose 3}+ \cdots +\varDelta^t 0^t {n\choose t}, \] wo \[ \varDelta^\nu 0^t=\nu^t- {\nu\choose 1} (\nu-1)^t+ {\nu\choose 2} (\nu- 2)^t- {\nu\choose 3} (\nu-3)^t+\cdots, \] angewendet wird. Hierdurch erhält man folgende Darstellung für \(u_n\): \[ u_n=n!\sum_{(a)} \sum^{\alpha-1}_{h=1}\;\frac{P_{a,h}}{(n-h)!}\;a^h, \] wo \[ P_{a,h}=\frac{1}{h!}\;(A_h\varDelta^h 0^h+A_{h+1}\varDelta^h 0^{h+1}+\cdots + A_{\alpha-1}\varDelta^h 0^{\alpha-1}) \] ist, und diese führt ohne Schwierigkeiten zu dem Resultat: \[ \sum_n U_n=\sum_{(a)} \sum^{\alpha-1}_{h=0} p(p+1)\cdots(p+h- 1)P_{a,h} a^h x^h(1-ax)^{-p-h}. \] Hierauf zeigt der Verfasser noch, wie sich mit Hülfe dieser Formel noch andere Reihen summiren lassen und schliesst mit dem Beispiel: \[ \frac 13\cdot 1^3\cdot x+\frac{1.4}{3.6}\cdot 2^3\cdot x^2+\frac{1.4.7}{3.6.9}\;3^3\cdot x^3+\;\frac{1.4.7.10}{3.6.9.12}\cdot 4^3\cdot x^4+\cdots =\frac{x(9+18x+x^2)}{27(1-x^3)\root3\of{1-x}}\,. \]

MSC:

40A25 Approximation to limiting values (summation of series, etc.)

Citations:

JFM 11.0171.02
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Full Text: Numdam EuDML