×

On series ordered according to increasing powers of a variable. (Sur les séries ordonnées suivant les puissances croissantes d’une variable.) (French) JFM 15.0182.01

In einer voräufigen Note in den C. R. XCII. 697 f. hatte der Verfasser die Lösung der allgemeinen Aufgabe angegeben, mit Hülfe der Summe \(f(x)\) der convergenten Reihe \(\sum u_ix^i\) die Summe \(F(x)\) der convergenten Reihe \(\sum u_i\nu_ix^i\) zu finden, falls \(\nu_0,\nu_1,\nu_2,\dots\) eine gegebene recurrirende Reihe ist. Diese Lösung ist reproducirt in dem Referat F. d. M. XIII. 1881. p. 178 (JFM 13.0176.02?), worin, wie nachträglich bemerkt sei, die Grössen \(Q\) und \(P\) durch die Gleichung \[ t!Q_{r,t} =\Delta^t0^tP_{r,t}+\Delta^t0^{t+1}P_{r,t+1}+\cdots +\Delta^t0^{\varrho-1}P_{r,\varrho-1} \] verknüpft sind. In der vorliegenden ausführlichen Arbeit wird die Herleitung der Lösung gegeben; sie beruht hauptsächlich auf der durch die “Herschel’sche Formel”, gelieferten Darstellung einer Potenz (cf. das vorhergehende Referat (JFM 15.0181.01)) und auf der Relation: \[ \sum^\infty_{n=0}n(n-1)\dots (n-h +1)u_nx^{n- h}=\sum^\infty_{n=0}(n+1)(n+2)\dots (n+h)u_{n+h}x^n=f^{(h)}(x). \] Ein zweiter Abschnitt der Arbeit ist speciellen Fällen gewidmet, wie \(\sum_{n}n^px^n\), \(\sum_n\,\frac{\xi(n)}{n!}\,x_n\), wo \(\xi(n)\) eine ganze Function von \(n\) bedeutet, \(\sum x^n\cos n\omega\), \(\sum x^n\cos^2n\omega\) und \(\sum u_{k+np}x^{k+np}\), wo die Summe \(\sum u_nx^n\) bekannt ist. Im dritten Abschnitt wird auf die principielle Wichtigkeit der gegebenen Lösung aufmerksam gemacht; rechnet man zu ein und derselben Klasse alle diejenigen Potenzreihen, die aus einer von ihnen, \(f(x)\), durch gliedweise Multiplication mit den Gliedern irgend einer recurrirenden Reihe hervorgehen, so sind sämtliche Reihen ein und derselben Klasse durch \(f(x)\) und die Ableitungen dieser Function darstellbar.

MSC:

40A25 Approximation to limiting values (summation of series, etc.)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Numdam EuDML