Extract of a letter addressed to M. Hermite. (Extrait d’une lettre adressée à M. Hermite.) (French) JFM 15.0317.03

Falk, M.

Darb. Bull. (2) VII, 137-139 (1883).

Ein elementarer Beweis des Cauchy’schen Theorems. Zunächst wird der Hülfssatz bewiesen: “Wenn \(f(\varrho,t)\) und \(\frac{\partial f(\varrho ,t)}{\partial \varrho} \) innerhalb eines bestimmten Bereiches eindeutige und stetige Functionen der beiden reellen Variabeln \(\varrho \) und \( t \) sind, und wenn die von dem Punkt \((\varrho, t) \) beschriebene Curve für einen bestimmten Wert von \(\varrho \), während \( t \) von \(t=\alpha \) bis \(t=\beta \) geht, ganz und gar in dem obigen Ebenen-Bereiche liegt, so ist \[ \frac{\partial }{\partial \varrho} \int^{\beta}_{\alpha} f(\varrho, t) dt=\int^{\beta}_{\alpha} \frac{\partial f(\varrho, t)}{\partial \varrho} dt, \] vorausgesetzt, dass \(\alpha\) und \(\beta\) von \(\varrho \) unabhängig sind”; alsdann das Fundamentaltheorem: “Ist eine Function \(F(z) \) eindeutig, stetig und hat sie eine Ableitung in einem einfach begrenzten Bereiche der Ebene, so sind die bestimmten Integrale \[ \int^{z_1}_{z_0} F(z)dz \] längs der verschiedenen Linien, die in diesem Bereiche von einem Punkte \(z_0\) zu einem andern Punkte \(z_1\) gehen, einander gleich.”

Reviewer: Müller, F., Dr. (Berlin)

MSC:

30A99

General properties of functions of one complex variable

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Cauchy’s integral theorem