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Theory of essential singular points. (Théorie des points singuliers essentiels.) (French) JFM 15.0330.02

Die Arbeit entwickelt in ihrem ersten Teile die Theorie der singulären Punkte einer eindeutigen analytischen Function im wesentlichen im Sinne von Weierstrass und Mittag-Leffler. Den Ausgangspunkt bildet der Laurent’sche Satz für die Entwickelung einer Function \(\Pi(z)\), die in einem ringförmigen Gebiet, das hier den Nullpunkt umgeben möge, eindeutig und stetig, in der Form \[ \Pi (z) = Q(z) + P(\tfrac{1}{z}). \] Dem wird eine analoge Productentwickelung für das gleiche Gebiet an die Seite gestellt \[ \Pi (z)=z^n.q(z).p(\tfrac{1}{z}). \] Nun existirt jedesmal eine eindeutige Function \[ P_1(\tfrac{1}{z}) \text{ bez. } p_1(\tfrac{1}{z}) \] von der Eigenschaft, dass sie überall mit \(P(\frac{1}{z})\) bez. \(p(\frac{1}{z}) \) übereinstimmt, wo diese letzteren Reihen convergiren (d.h. ausserhalb des kleineren der beiden Begrenzungskreise des ringförmigen Gebietes). \[ \Pi(z) - P_1 (\tfrac{1}{z}) \text{ bez. } \frac{\Pi(z)}{z_n. p_1 (\frac{1}{z})} \] ist dann im Innern des grösseren der beiden Begrenzungskreise eindeutig und stetig, ebenso wie \(Q(z)\) bez. \(q(z)\). Die Functionen \[ P_1 (\tfrac{1}{z}) \text{ bez.} z^n.p_1(\tfrac{1}{z}) \] können als charakteristische Functionen für die im Innern des kleineren Begrenzungskreises gelegenen singulären Punkte bezeichnet werden. Nehmen wir den Nullpunkt als den singulären Punkt dieses letzeren Gebietes an, so werden wir für zwei Functionen \(\Pi'(z)\), \(\Pi''(z)\) diesen Punkt als in dieselbe Klasse gehörig betrachten, wenn die Differenzen bez. der Quotient dieser beiden Functionen und damit auch die Differenz bez. der Quotient der zugehöringen charakteristischen Functionen in der Umgebung dieses Punktes eindeutig und stetig sind. Hiermit sind zwei von einander verschiedene Klassificationen eines singularen Punktes gegeben.
Mit Hülfe der charakteristischen Functionen, welche sich auf die verschiedenen singulären Punkte einer eindeutigen Function beziehen, folgen die bekannten Darstellungen: \[ \Pi(z)=P_1\left(\frac{1}{z-a_1}\right) + P_2 \left(\frac{1}{z-a_2}\right)+\cdots+G(z), \]
\[ \Pi(z)=p_1\left(\frac{1}{z-a_1}\right)\cdot p_2\left(\frac{1}{z-a_2}\right)\cdots \cdot g(z). \] Im Anschluss an die Arbeiten von Cantor und Mittag-Leffler wird dann die Einteilung der singulären Punkte und die gleichzeitige zugehöriger eindeutiger Functionen, nach Arten und Gattungen gegeben.
Der zweite und dritte Teil der Arbeit bezieht sich auf die Verwendug dieser Formulirung zu Reihen-Entwickelungen der einfach- und doppelt-periodischen Functionen mit gegebenen singülaren Stellen. Zunächst werden gewisse Hülfsfunctionen gebildet mit nur je einer singülaren Stelle im Periodenparallelogramm. Diese lassen die eine Periode \(\omega\) zu und ändern sich bei Zufügung der zweiten \(\omega '\) zum Argumente um eine additive bez. multiplicative constante. Aus diesen Hülfsfunctionen lassen sich dann durch Summen- bez. Productbildung doppeltperiodische Functionen mit gegebenen Unstetigkeitsstellen construiren, wobei für die Anzahl und Art der Nullstellen und der singulären Stellen gewisse Relationen erfüllt sein müssen. Zum Schluss wird die Entwickelung der doppeltperiodischen Functionen mit Hülfe der unendlichen Doppelsummen und Doppelproducte \[ \sum \sum P (\frac {1}{z-m \omega - n \omega'}) \quad\text{und}\quad \Pi \Pi p (\frac {1}{z-m\omega-n\omega'}), \] in ihrem Zusammenhange mit den vorangehenden Entwickelungen besprochen.

MSC:

30B99 Series expansions of functions of one complex variable
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Full Text: Numdam EuDML