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On the functions of two independent variables which are analoguous to modular functions. (Sur des fonctions de deux variables indépendantes analogues aux fonctions modulaires.) (French) JFM 15.0432.01

Man weiss, dass die bestimmten Integrale \(\int^h_g\frac{dt}{\sqrt{t(t-1)(t-x)}},\) worin \(g\) und \(h\) zwei der Grössen \(0,1,x,\infty\) bezeichnen, als Functionen von \(x\) einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen, und falls \(\omega_1\) und \(\omega_2\) zwei passende Lösungen derselben sind, die Function \(x\) von \(u\) gegeben durch die Gleichung \(\omega_2:\omega_1=u\) eindeutig ist und nur für die Halbebene auf der positiven Seite der reellen \(u\)-Axe definirt ist. Dieser Modularfunction der elliptischen Functionen analog werden eindeutige Functionen zweier Variablen definirt, zu denen man durch die Betrachtung der bestimmten Integrale \[ \int^h_g\frac{dt}{\root 3 \of{t(t-1)(t-x)(t-y)}} \] geführt wird, worin \(g\) und \(h\) zwei der Grössen \(0, 1, x, y, \infty\) bezeichnen. Diese genügen als Functionen von \(x\) und \(y\) nach einem allgemeineren vom Verfasser bewiesenen Satze (C. R. 1880 und Ann. de l’Éc. N. 1881; s. F. d. m. XII. p. 328, JFM 12.0328.02) einem System von drei simultanen linearen partiellen Differentialgleichungen, die drei und nur drei gemeinsame linear unabhängige Lösungen haben. Wählt man drei zur algebraischen Gleichung zwischen \(z\) und \(t\) \[ z^3=t(t-1)(t-x)(t-y), \] deren Geschlecht drei ist, gehörige Abel’sche Integrale erster Gattung \(u_1, u_2, u_3,\) die so normirt sind, dass nach der Riemann’schen Bezeichnung der Periodicitätsmodul von \(u_{\mu}\) an dem Schnitte \(a_{\mu}\) gleich 1, an den übrigen Schnitten \(a\) gleich 0 ist, so hängen die 6 Periodicitätsmoduln an den Schnitten \(b\) nur von zwei Grössen \(u, v\) ab. Die quadratische Form \(\varSigma m_{\mu}m_{\nu}\alpha_{\mu\nu}\), wo \(\alpha_{\mu\nu}\) den imaginären Bestandteil des Periodicitätsmoduls von \(u_{\mu}\) an dem Schnitte \(b_{\nu}\) bezeichnet, muss definirt und negativ sein. Diese Bedingung reducirt sich auf die von den Werten \(u, v\), wenn \(u=u'+iu''\), \(v=v'+iv''\) gesetzt wird, zu erfüllende Ungleichung: \[ 2v'+u'^2+u''^2<0. \] Die Grössen \(u,v\) sind zwei Verhältnisse dreier bestimmten Integrale \(A_1, A_2, A_3\), die lineare und homogene Combinationen von bestimmten Integralen der oben angegebenen Form sind, und ein Fundamentalsystem von Lösungen der erwähnten Differentialgleichungen darstellen. Die Wertänderungen, die \(u\) und \(v\) bei beliebigen Umläufen von \(x\) und \(y\) erfahren, werden, wie sich durch eine Untersuchung an den Integralformen selbst ergiebt, sämtlich erhalten, wenn man auf \(u, v\) die Substitutionen der Gruppe anwendet, deren Fundamentalsubstitutionen die drei folgenden sind: \[ \begin{aligned} & U=\lambda^2u-\lambda-1,\qquad V=v+(\lambda-\lambda^2)u-(1-\lambda^2),\\ & U=\lambda^2u+1-\lambda^2,\qquad V=v+(1-\lambda^2)u-(1-\lambda^2),\\ & U=\frac{u}{-2\lambda+(\lambda^2-1)v},\quad V=\frac{\lambda v+\lambda^2-1}{-2\lambda+(\lambda^2-1)v},\\ &\qquad (\lambda \quad\text{eine kubische Wurzel der Einheit}).\end{aligned} \] Hieraus folgt dann, dass bei allen Substitutionen der Gruppe die Ungleichheit \[ 2v'+u'^2+u''^2<0 \] erhalten bleibt. Die Umkehrung der Gleichungen \[ \frac{A_3}{A_1}=u,\qquad \frac{A_2}{A_1}=v \] mit Hülfe der \(\theta\)-Functionen, die nur angedeutet wird, ergiebt \(x\) und \(y\) als eindeutige Functionen von \(u\) und \(v\), welche für jedes System der unabhängigen Variablen \(u\) und \(v\) definirt sind, welche der obigen Ungleichheit genügen. Sie nehmen für alle Substitutionen der oben bezeichneten Gruppe denselben Wert an.

MSC:

14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
11F06 Structure of modular groups and generalizations; arithmetic groups

Citations:

JFM 12.0328.02
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References:

[1] Nous avons précédemment appeléz 1 la valeur initiale prise pourz quand on at=t o , nous l’appelons maintenantz o afin de pouvoir garder plus de symétrie dans les notations qui suivent.
[2] Tome 1er de ce recueil.
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