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Algebraic studies on abelian integrals. (Recherches algébriques sur les intégrales abéliennes.) (French) JFM 15.0435.01

Ann. de l’Éc. Norm. (2) XII, 105-189 (1883); Paris. Gauthier-Villars (1883).
Die Theorie der Abel’schen Integrale erfordert im allgemeinen die Auflösung von algebraischen Gleichungen; es giebt indess einzelne Probleme in derselben, die sich ohne solche Auflösung erledigen lassen. Unter diesem Gesichtspunkte behandelt der Verfasser gewisse Fälle von Reductionen Abel’scher Integrale und die Bestimmung des Geschlechts einer algebraischen Curve. Die Behandlung schliesst sich an die bekannten Untersuchungen von Briot und Bouquet über die algebraische, irreductible Differentialgleichung \[ (1)\qquad F\left(u,\;\frac{du}{dz}\right)=0 \quad \text{oder} \quad F(u,U)=0, \quad \text{wo} \quad U+\frac{du}{dz}\,, \] an (Journ. de l’École Polyt. cah. 36). Die Behandlung dieser Differentialgleichung ist identisch mit der Behandlung des Abel’schen Integrals \[ z=\int^u\frac{du}{U},\quad \text{wo}\quad F(u,U)=0. \] Von dem Charakter dieses Integrals sind wesentlich abhängig die Werte von zwei Arten von Paramatern, namentlich die Richtungscoefficienten \(c\) der Asymptoten der Curve \(F(u,U)=0\), d. h. die endlichen oder unendlichen Werte des Quotienten \(\frac{u}{U}=c\), wenn \(u\) oder \(U\) oder beide unendlich werden, und die Werte der Ableitung \(\frac{du}{dU}=c_0'\) für \(U=0\). Cap. I entwickelt drei hierauf bezügliche Theoreme, die der weiteren Untersuchung zu Grunde liegen.
I. Ist das Integral allenthalben endlich auf der Kugel (erste Gattung), so sind die Parameter \(c\) und \(c_0'\) sämtlich Null.
II. Wird das Integral \(z\) nur algebraisch unendlich (zweite Gattung), so ist mindestens einer der Parameter \(c\) oder \(c_0'\) unendlich und alle endlichen Parameter sind Null.
III. Wird das Integral \(z\) nur in einzelnen Punkten logarithmisch unendlich (dritte Gattung), so sind die Parameter \(c\) und \(c_0'\) alle endlich und mindestens zwei von ihnen verschieden von Null.
Diese drei Sätze sind umkehrbar. Die endlichen Werte der Parameter \(c\) und \(c_0'\) stellen bis auf einen Factor \(2pi\pi\) die polaren Perioden des Integrals \(z\) dar, die den logarithmischen Punkten entsprechen. Umgekehrt werden nun die den drei Sätzen entsprechenden Formen der Gleichung \(F(u,U)=0\) untersucht, also die drei Fälle:
1. die Parameter \(c\) und \(c_0'\) sind sämtlich 0;
2. die Parameter \(c\) und \(c_0'\) sind entweder 0 oder \(\infty\), aber nicht sämtlich 0;
3. die Parameter \(c\) und \(c_0'\) sind endlich, aber nicht sämtlich 0.
Aus der Untersuchung des ersten Falls ergiebt sich eine einfache Methode, um zu erkennen, ob ein gegebenes Abel’sches Integral von der ersten Gattung ist.
Cap. II behandelt einen Fall der Reduction Abel’scher Integrale. Briot und Boquet (l. c.) haben bewiesen: Wenn das Integral \(u\) der Differentialgleichung (1) in jedem Punkt \(z\) nur eine endliche Anzahl von Werten hat (oder wenn das Integral “wohl bestimmt” ist), so ist dasselbe Wurzel einer algebraischen Gleichung, deren Coefficienten ganze Functionen von \(z\) oder von \(e^{\varrho z}\) oder von der doppeltperiodischen Function sn(\(\varrho z\)). Zur Entscheidung, welcher dieser drei Klassen das Integral angehört, beweist der Verfasser folgenden Satz.
Ist das Integral \(u\) doppelperiodisch, so sind die Parameter \(c\) und \(c_0'\) sämtlich 0.
Ist das Integral \(u\) algebraisch, so ist wenigstens einer der Parameter \(c\) und \(c_0'\) \(\infty\) und alle endlichen Parameter sind verschieden von 0.
Ist das Integral \(u\) einfach periodisch, so sind die Parameter \(c\) und \(c_0'\) endlich, aber nicht sämtlich gleich 0, und die von 0 verschiedenen Parameter bilden eine Reihe von unter sich commensurabeln Zahlen.
Eine Umkehrung der Untersuchung bezieht sich auf die Entscheidung, ob unter den obigen Voraussetzungen über die Parameter \(c\) und \(c_0'\) das Integral \(u\) von (1) “wohl bestimmt” ist.
Cap. III beschäftigt sich zuerst mit der Bestimung des Geschlechts \(p\) einer algebraischen Curve \(f(xy)=0\), definirt durch \(p=\frac{1}{2}\,\sum(r- 1)-m+1\), wo \(m\) der Grad von \(f\) in \(y\) und die \(r\) die Ordnungszahlen in den Verzweigungspunkten von \(y\). Der Verfasser giebt eine Methode den Wert von \(\sum(r-1)\) zu bestimmen, ohne die Verzeigungspunkte von \(y\) oder den Wert von \(y\) in denselben zu kennen. Diese Untersuchungen werden schliesslich verwertet für die Frage nach den eindeutigen Integralen der Differentialgleichung (1). Nachdem die von Briot und Bouquet (l. c.) angegebenen notwendigen und hinreichenden Bedingungen neu hergeleitet sind, wird eine zweite Methode zur Untersuchung der eindeutigen Integrale entwickelt. Dieselbe geht aus von dem Hermite’schen Satz: “Ist das Integral \(u\) der Gleichung (1) eindeutig und doppeltperiodisch, so ist \(F=0\) vom Geschlecht 1; ist das Integral eindeutig und rational oder einfach periodisch, so ist \(F=0\) vom Geschlecht 0” und giebt die zur Umkehrung dieses Satzes nötigen Bedingungen an, denen \(F=0\) genügen muss. Die in der Abhandlung entwickelten Theorien sind durch eine Reihe von Beispielen erläutert.

MSC:

14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
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Full Text: Numdam EuDML