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Ein Satz über lineare Identitäten zwischen Quadraten binärer Formen. (German) JFM 15.0510.05

(Siehe auch JFM 15.0510.02, JFM 15.0510.03, JFM 15.0510.04) Von einem umfangreicheren Werke, welches beabsichtigt in eine speciellere Theorie einzufahren, ist man gewohnt, neben einer systematischen Entwickelung der nächsten Vorbegriffe namentlich auch eine eingehendere Darlegung des Umfanges zu verlangen, in dem etwaige neue Fragen erledigt werden sollen. Der Verfasser des vorliegenden Werkes hat statt dessen einen anderen Weg eingeschlagen, welcher es grösstenteils dem Leser überlässt, diese Ergänzungen vorzunehmen. Referent kann sich, so anregend, wie z. B. in den Salmon’schen Werken, eine solche Darstellung auch zu wirken vermag, mit derselben nicht ganz einverstanden erklären. Vor allem hätte er gewünscht, in einem Werke über Apolarität eine principiellere Fassung derjenigen Fragen, auf welche sich diese zunächst speciellere Richtung der Invariantentbeorie beziehen soll, entwickelt zu sehen; auch der Umfang, in welchem der Apolaritätsbegriff benutzt werden soll, wäre zu bezeichnen gewesen. Da aber nur nebensächlich an die Vorstellungen, aus denen die binäre Apolarität erwachsen ist, erinnert wird, so kommt es, dass der Apolaritätsbegriff überbaupt nur als zufällig bei den Untersuchungen aufzutreten scheint; freilich vermittelt durch eine geschickte Bezeichnungsweise, die es ermöglicht, Fragen aus dem Gebiete ternärer und quaternärer etc. Apolaritäten auf die binäre zurückzuführen, und aus der hervorgeht, dass der Verfasser allerdings im Besitze allgemeinerer Methoden war, als er darzulegen für jetzt beabsichtigen mochte. Gerade die letzteren aber würden nicht selten von grösserem Interesse gewesen sein, als die grosse Anzabl einzelner zum Teil sehr ähnlicher Sätze, in der sich namentlich in den späteren Partien des Werkes die Darstellung hier und da bewegt, so interessant es auch ist, den oft originellen Wendungen des Verfassers zu folgen.
Der Verfasser scheint nun einerseits in seinen Untersuchungen den Zweck zu verfolgen, die Resultate der binären Formentheorie auf Gebiete von mehr Dimensionen zu übertragen. Gegenüber den allgemeinen symbolischen Methoden, welche namentlich von Clebsch für diesen Zweck ausgebildet sind, beschränkt er sich, und das ist das Eigentümliche seiner Betrachtungsweise, vorzugsweise auf diejenigen Invariantenbeziehungen, welche unmittelbar an den Begriff der binären Apolarität zweier Formen gleicher Ordnung anknüpfen, welches freilich bei erweiterten Gesichtspunkten wieder völlig mit der allgemeinen Auffassung übereinkommen würde. Andererseits aber scheint es seine Absicht gewesen zu sein, mit Hülfe seiner Begriffe selbst eine Darstellung der binären Formen \(3^{\text{ter}}\), \(4^{\text{ter}}\) und \(6^{\text{ter}}\) Ordnung zu geben; freilich musste der Gebrauch der canonischen Formen, der seiner Darstellung eigentümlich ist, dabei schon vorausgesetzt werden. Indem er bald den einen, bald den anderen Gesichtspunkt mehr hervortreten lässt, gelangt er in der That zu einer sehr vielseitigen Inangriffnahme verschiedener Probleme und zu einer äusserst fruchtbaren Behandlungsweise einer Gruppe geometrischer Theorien.
Das erste Capitel würde kürzer und übersichtlicher ausgefallen sein, wenn an Stelle von oft nur unvollständig ausgeführten Verificationen allgemeiner Theoreme (so namentlich §§ 1-3) die leicht zu formulirenden Beweise derselben gegeben wären. Eine rationale Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung im Raume von \(d\) Dimensionen, \(R^n_d\), hat die Gleichungen \[ (1)\quad \varrho x_i=\varphi_i(\lambda),\qquad (i=0,1,\dots,d), \] wo die \(\varphi_i\) rationale ganze Functionen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung von \(\lambda\) sind. Schneidet man sie mit einer Ebene \[ (2)\quad u_x = 0, \] so erhält man eine Gruppe von \(n\) Wurzeln \(\lambda_1, \lambda_2,\dots, \lambda_n\). Damit umgekehrt eine Gruppe von \(n\) Punkten mit den Argumenten \(\lambda_i\) auf der \(R^d_n\) einem Gebilde \(u_x = 0\) angehöre, müssen zwischen den symmetrischen Functionen der \(\lambda_i\) \[ s_0 : s_1 : s_2 : \dots : s_n, \] die das lineare Schnittpunkttheorem der \(R^d_n\) ausdrückenden Relationen \[ (3)\quad A_{ks}=\sum^n_1 \alpha_{ki} s_i(-1)^i = 0,\qquad (k = 1,2,\dots,n-d), \] (und umgekehrt) erfüllt sein, falls die \(a_{ki}\) den Gleichungen: \[ \sum\alpha_{1r}a_{ir} = 0, \sum\alpha_{2r} a_{ir}=0,\dots,\sum \alpha_{n-d,r} a_{ir}=0 \] genügen, in denen die \(a_{ir}\) die Coefficienten der Formen \(\varphi\) sind. Aus den \(A_{ks}\) enthält man durch Gleichsetzen aller \(\lambda\) ebensoviel Formen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(\psi_i(\lambda)\), durch deren Polarisation nach \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) wieder das Schnittpunkttheorem hervorgeht, die Schnittpunktformen. Alsdann hat man den Satz: Die bilinearen Invarianten der Schnittpunktformen und der Formen \(\varphi_i(\lambda)\) verschwinden, oder die Gruppe der \(\varphi\) ist apolar zur Gruppe der \(\psi\). Fasst man wieder die \(\psi_i\) als Coordinaten einer \(R^{n-d-1}_n\) auf, so hat man demnach ein Reciprocitätstheorem für zwei rationale Raumcurven. Hieran schliesst sich die Entwickelung des wichtigen Princips, dass die Combinanten (speciell Functionaldeterminanten) conjugirter oder apolarer Gruppen identisch sind, welches gleichzeitig mit dem Verfasser auch von den Herren Brill und Stephanos aufgestellt wurde, mit deren Untersuchungen die vorliegenden überhaupt in naher Beziehung stehen; freilich wird dasselbe nur implicite in den folgenden Abschnitten verwendet.
Im Capitel II werden im besonderen die Normcurven betrachtet, d. h. diejenigen collinearen Umformungen einer \(R^n_n\), deren Gleichungen in Punkt- und Ebenencoordinaten in den äquivalenen Formen \[ \begin{aligned} & x_0:x_1:x_2:\dots:x_n = 1 :n\lambda:\;\frac{n(n-1)}{2}\;\lambda^2:\dots:\lambda^n,\\ & u_0 : u_1 : u_2:\dots :u_n = \lambda^n:-\lambda^{n-1}:\lambda^{n- 2}:\dots:\pm 1\end{aligned} \] dargestellt sind. Eine solche Curve wird als Punktcurve durch das Zeichen \(N_n\), als Klassencurve durch \(N_n\), bezeichnet. Einem Punkte \(x\) des Raumes \(x\) entspricht die Form \[ f = \lambda^n x_0 + x_1\lambda^{n-1} + x_2\lambda^{n- 2}+\cdots+x_n=0; \] sie bestimmt die \(n\) Argumente der von \(x\) ausgehenden (Schmiegungs) Ebenen der \(N_n\); diese Punktgruppe liegt bei ungeradem \(n\) mit \(x\) in einer Ebene. Umgekehrt sind bei dieser Darstellung die Coordinaten eines Raumpunktes \(x\) proportional mit den symmetrischen Functionen \[ (4)\quad s_0:s_1:\dots:s_n \] der Punktgruppe, welche durch die Berührungspunkte der durch ihn gehenden Ebenen gebildet sind. Der Verfasser führt diese Betrachtungsweise jedoch nur an der \(N_2\), \(N_3\) aus. So wird § 15 die quadratische Involution auf der \(N_3\) und ihre Beziehung zu dem Flächennetze der \(F_2\) untersucht, welches durch die \(N_3\) geht; daraus ergiebt sich dann die Bedeutung der Covarianten der kubischen Form \(f\), wobei im wesentlichen die bereits von Herrn Sturm gefundenen Resultate auftreten. Im Abschnitt II wendet sich die Darstellung zur biquadratischen Form auf der \(N_2\) und \(N_3\). Damit der Kegelschnitt \(a^2_x=0\) apolar sei zu der \(N_2\), muss seine Gleichung von der Form sein \[ a^2_x =x_0(a_0x_0+ a_1x_1+ a_2x_2)+x_1(a_1x_0+ a_2x_1+ a_3 x_2) + x_2(a_2x_0+a_3x_1 + a_4x_2)= 0, \] und die Bedingung zweier conjugirten Punkte lautet dann: \[ (5)\quad a_xa_y=0. \] Setzt man nun nach (4) \[ \begin{aligned} & x_0 : x_1: x_2=s_0: s_1: s_2=1: \lambda_1+\lambda_2: \lambda_1 \lambda_2,\\ & y_0 : y_1: y_2=\sigma_0: \sigma_1: \sigma_2 = 1: \lambda_3+\lambda_4: \lambda_3 \lambda_4,\end{aligned} \] so erscheint (5) in der Form \[ \sum^4_0{}_s a_is_i=0, \] in welcher die \(s\) die symmetrischen Functionen der \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) sind. Aus dieser Bedingung folgt eine grosse Zahl von Sätzen, die als Erweiterungen des Hesse’schen Theorems über conjugirte Pole anzusehen sind, insbesondere aber auch noch die geometrische Deutung der binären biquadratischen Form (Schnitt von \(a^2_x\) mit \(N_2\)) und ihrer Covarianten. Es folgt dann die analoge Untersuchung über die biquadratische Form auf der \(N_3\), bei welcher die bereits erwähnten Untersuchungen von Sturm weiter ausgeführt werden, namentlich unter Hinzuziehung der in Bezug auf die Curve conjugirten Gruppe linearer Complexe, endlich die Abbildung des linearen Complexes überhaupt. Daran schliesst sich die Theorie der biquadratischen Form auf der \(R^4_4\), welche indes mit Hülfe der Veronese’schen Projection auf die Betrachtung einer \(R^3_4\), \(R^2_4\) zurückkommt. Dabei wird der Verfasser auch auf die von Clebsch zuerst aufgestellten Schnittpunktrelationen der rationalen Curven geführt, doch dürfte sich gegen die auf S. 191, 192 gegebene Darstellung in mehrfacher Hinsicht etwas einwenden lassen.
Im Abschnitt III werden die vorhergehenden Betrachtungen nun so erweitert, dass auch Fragen der ternären und quaternären Apolarität auftreten. Damit (§ 25) eine \(F_2\) apolar sei zu dem Netze von Flächen zweiter Klasse, welche eine \(N_3\), “stützen”, müssen die Coefficienten der \(F_2\) den Bedingungen \[ a_{02}= a_{11}, \quad a_{03} = a_{12},\quad a_{13}= a_{22} \] genügen, so dass \[ (6)\quad \left\{\begin{aligned} F_2 = a^2_x & = x_0(a_0x_0 +a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3)\\ & + x_1(a_1x_0 + a_2 x_1 + a_3x_2 + a_4 x_3)\\ & + x_2(a_2x_0 + a_3 x_1 + a_4x_2 + a_5 x_3)\\ & + x_3(a_3x_0 + a_4 x_1 + a_5x_2 + a_6 x_3),\end{aligned}\right. \] welcher Ausdruck mit Hülfe der auf die \(N_3\) bezogenen Coordinaten (4) wieder übergeht in die Form \[ (7)\quad a_s = \sum^6_0{}_s a_i s_i, \] falls von den 6 Elementen \(\lambda\) je zwei zu drei Paaren einander gleich gesetzt werden, und die eine Form \(6^{\text{ten}}\) Grades \[ (8)\quad a^6_\lambda = 0 \] liefert, in der \(F_2\) und die \(N_3\) sich schneiden. Ebenso wird es Klassenflächen \(\varPhi_2\) geben, welche apolar sind zu dem Netze von Flächen zweiter Ordnung, welches die \(N_3\) enthält, und zu diesen gehört dann eine Form \[ (9)\quad \beta^6_\lambda = 0. \] Nun sind wieder \(F_2\), und \(\varPhi_2\) apolar, sobald die beiden binären Formen (7), (8) es sind. Hieraus ergeben sich ähnliche Folgerungen wie früher. Ist z. B. die Gleichung der \(F_2\) in Ebenencoordinaten \(u^2_A = 0\), so findet man, falls man nach (4) die \(u_i\) durch die Potenzen der \(\lambda\) ersetzt, sechs Ebenen von \(F_2\), welche zugleich Ebenen von \(N_3\) sind; sie bilden die Catalecticante \(H\) von \(a^6_\lambda\). Und irgend zwei Ebenentripel, welche von zwei conjugirten Polen der \(F_2\) an die \(N_3\) gehen, bilden eines der \(\infty^5\) Polsechsflache der Fläche, deren durch (7) charakterisirte Argumente auf der \(N_3\) die zu (8) apolare Gruppe vorstellen. Aus ihnen entstehen durch Spaltung von (7) in \[ A_1 + \lambda_6 A_2=0 \] (es ist dies ein besonders beliebter Process des Verfassers) die Formen \[ A_1 = 0,\quad A_2 = 0, \] welche Polfünfflache, und durch weitere Spaltung von \(A_1\) und \(A_2\) nach \(\lambda_5\) die Formen \[ A_{11}=0,\quad A_{12} = 0,\quad A_{22}=0, \] welche Polvierflache charakterisiren. Die lineare Schaar der letzteren bestimmt daher eine biquadratische Involution auf der \(N_3\), conjugirt zu der Gruppe der zweiten Polaren von (8). Aber auch umgekehrt bestimmen diese jene Polargruppe, und die Functionaldeterminante derselben ist wieder \(H\). Insbesondere führt die Involution der Poltetraeder zu der Betrachtung einer zweiten Curve dritter Ordnung, die von den Ecken jener Tetraeder gebildet wird, welche von Herrn Hurwitz betrachtete Beziehung hier ausführlich studirt wird. Schon hier wird ferner die Frage aufgeworfen, um die sich der weitere Inhalt des Werkes dreht: Wie viel biquadratische Involutionen mit gemeinsamen sechs Doppelelementen giebt es, oder wie viele \(F_2\) giebt es, die mit einer \(N_3\) sechs Ebenen gemein haben und zu ihr apolar sind?
Anstatt diese letztere in Angriff zu nehmen, wendet sich in § 26 die Darstellung zur binären Form sechsten Grades auf der \(N_2\); sie wird vermittelt durch die zu einer \(N_2\) apolaren Curven dritter Ordnung. So ergiebt sich das Analogon zu den früheren Betrachtungen: Die biliiieare Invariante zweier binären Formeln sechster Ordnung ist mit den Apolaritätsbedingungen zweier terären Formen dritten Grades identisch, welche mit einem apolaren \(N_2\) ein gegebenes Sextupel gemein haben; welcher fruchtbare Satz dann wieder durch sehr zahlreiche Anwendungen illustrirt wird.
In § 27 wendet sich die Darstellung wieder den Involutionen mit der nämlichen Functionaldeterminante zu. Die Normcurve vierter Ordnung \(N^4_4\), auf welcher eine biquadratische Involution ausgebreitet sei, wird projicirt in eine ebene Curve \(4^{\text{ter}}\) Ordnung mit vier Doppel- und sechs Wendetangenten; letztere entsprechen er Functionaldeterminante. Die Betrachtung dieser Curve oder vielmehr der zu ihr dualen \(R^2_6\) liefert dann die Existenz von mindestens fünf Involutionen der gewünschten Art. Durch diese Auffassung gewinnt der Verfasser in der That eine sehr anschauliche Darstellung des Satzes, zu welchem gleichzeitig die Herren Brill und Stephanos durch rein algebraische Untersuchungen geführt waren; die Darstellung nimmt freilich die Geduld etwas in Anspruch, da die schliessliche Erledigung der Frage nach der Zahl der Involutionen p. 310 doch nicht auf diesen geometrischen Principien beruht, sondern mit Hülfe rein algebraischer Betrachtungen ermittelt wird, die denen des Herrn Stephanos ganz parallel laufen. Die übrigen Paragraphen des Werkes verfolgen die Beziehungen dieses “Brill-Stephanos’schen Satzes” namentlich zur Theorie der Raumcurven und Flächen dritter Ordnung, doch muss hier auf das Buch des Herrn Meyer selbst verwiesen werden; erwähnt sei nur noch die elegante Form, in welcher die Canonisation der Fläche dritter Ordnung gegeben wird.
Das dritte und letzte Capitel enthält Verallgemeinerungen, zum Teil mit angedeuteten Beweisen, welche bestimmt sind, einem künftigen Werke des Verfassers zur Vorbereitung zu dienen; ein Teil derselben ist bereits in den Mathematischen Annalen a. a. O. ausgesprochen. Man findet hier unter anderem den durch eine Art von Induction gewonnenen allgemeinen Satz über die Zahl der Involutionen \((d+1)^{\text{ten}}\) Grades mit \(2d\) gemeinsamen Doppelelementen; die Verallgemeinerung der im Abschnitte II. über die Polflache ausgeführten Betrachtungen, ferner den Satz über die linearen Identitäten zwischen den gleich hohen Potenzen binärer Formen (S. 348); den Inhalt des Schlussparagrapben hätte Referent gerne früher auftreten sehen, da er für die allgemeine Anschauung, von der der Verfasser ausgeht, wesentlich ist.
Dem Werke ist ein ausführliches Literaturverzeichnis beigefügt, welches eine dankenswerte Zugabe bildet. Manche Citate stehen freilich nur in losem Zusammenhange mit den Untersuchungen des Textes; sie charakterisiren aber den Gang, den der Verfasser selbst bei der Ausbildung seiner Ideen genommen zu haben scheint.

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