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Application de la transformation par droites symétriques à un problème de Steiner. (French) JFM 15.0538.02

Es sei \(ABC\) ein Dreieck, \(P\) ein Punkt der Ebene eines Dreiecks. Man ziehe \(PA\), \(PB\), \(PC\) und construire die Spiegelbilder dieser drei Linien in Bezug auf die Halbierungslinien der inneren Winkel des Dreiecks \(ABC\); diese drei “Symmetriegeraden” schneiden sich in einem neuen Punkte \(P'\). Herr Schoute hat in einem anderen Aufsatze (Darb. Bull. VI. 152-168, 174-188, s. F. d. M. XIV. 1882. 519-520, JFM 14.0519.01) diese “birationale Transformation” untersucht. Sind \(xyz\) die trilinearen Coordinaten von \(P\), \(\xi\eta\zeta\) die von \(P'\), so ist die entsprechende analytische Transformation durch die Gleichungen gegeben \(x\xi = y\eta = z\zeta = c^2\). In der vorliegenden Arbeit wendet der Verfasser dieselbe Trausformation auf einen Satz von Steiner an (Geom. Gestalten, Anh. Aufg. 39. Ges. Werke I. 446, II. 675 Nr. 3). Hierzu beweist er zunächst den Satz: Bei der Transformation durch Symmetriegeraden, wo die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) die einfachen Fundamentalpunkte sind, entspricht die Reihe der unter sich ähnlichen und dem Dreiecke \(ABC\) umschriebenen Kegelschnitte dem Systeme der Tangenten eines bestimmten Kreises, der dem Umkreise des Dreiecks \(ABC\) concentrisch ist. Danach wird der Steiner’sche Satz bewiesen, ein Zusatz zu ihm gemacht; endlich folgt eine Aufzählung der hauptsächlichsten Oerter und Enveloppen, die mit den Reihen der ähnlichen umschriebenen Kegelschnitte zusammenhängen und zu deren Untersuchung bereits Steiner aufgefordert hatte.

Citations:

JFM 14.0519.01