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Eine Uebertragung des Pascal’schen Satzes auf Raumgeometrie. (German) JFM 15.0684.04

Der Herr Verfasser entwickelt folgendes Princip zur Uebertragung von Sätzen der Ebene auf den Raum.
Zunächst kann man nach dem Vorgange von Hesse (Borch. J. Bd. LXVI) folgende Beziehung zwischen einer Ebene und einer Geraden herstellen. Denkt man sich in der Ebene einen Kegelschnitt, so bestimmt jede Gerade auf demselben eine Involution, welche von einem festen Punkte des Kegelschnitts aus stereographisch auf eine feste Gerade projicirt werden kann. Es entspricht hiernach jeder Geraden der Ebene eine Involution der festen Geraden und umgekehrt. Um nun die nicht reellen Punkte der festen Geraden darzustellen, kann man mit einer Verallgemeinerung der Riemann’schen Methode folgendermassen verfahren. Man denke sich durch die Gerade eine Ebene gelegt, dann repräsentirt jeder Punkt der Ebene in der gewöhnlichen Darstellung einen (reellen oder imaginären) Punkt der Geraden. Man denke sich ferner eine nicht geradlinige Fläche zweiten Grades, die so liegt, dass ihre Tangentialebene in einem Nabelpunkte parallel ist jener Ebene, und projicire vom Nabelpunkte aus die Ebene stereographisch auf diese Fläche.
Man hat dann folgende Reihe von Relationen: jeder (reellen oder complexen) Geraden der ersten Ebene entsprechen zwei reelle oder complexe Punkte der Geraden, also auch zwei reelle Punkte der Fläche zweiten Grades, also schliesslich auch eine reelle Gerade des Raumes, nämlich die Secante, welchejene beiden Punkte der Fläche verbindet.
Diese Verwandtschaft hat folgende ausgezeichnete Eigenschaft: Zwei Gerade der ersten Ebene, welche mit den von ihrem Durchschnittspunkt an den Ordnungskegelschnitt gelegten Tangenten ein reelles Doppelverhältnis bilden, erhalten als Bilder zwei räumliche Gerade, die sich erstens schneiden, und zweitens innerhalb des durch sie bestimmten Büschels mit den an die Fläche zweiten Grades gelegten Tangenten dasselbe Doppelverhältnis bilden. Conjugirte Linien der Ebene haben conjugirte und sich schneidende räumliche Gerade zu Bildern, oder, wenn man den Kegelschnitt in der Ebene und die Fläche im Raume als Fundamentalgebilde der Massbestimmung nach Cayley ansieht, kann man sagen: Senkrechten Linien in der Ebene entsprechen senkrechte sich schneidende Gerade im Raume.
Um eine Anwendung dieser Verwandtschaft zu geben, wählt der Herr Verfasser den Pascal’schen Satz, welchem er dadurch eine bequeme Form giebt, dass er den Kegelschnitt als Fundamentalgebilde einer projectivischen Massbestimmung wählt. Dann kann der Satz so ausgesprochen werden: Die gemeinsamen Senkrechten der Gegenseiten eines in das Fundamentalgebilde eingeschriebenen Sechsseits haben eine gemeinsame Senkrechte, und dieser Satz behält alsdann für das räumliche Gebilde vollständig seine Form. Uebrigens ist dieser Weg in etwas speciellerer Form schon früher vom Herrn Verfasser ausgesprochen (Erl. Ber. 1873. Ref. F. d. M. V. 1873. 388, JFM 05.0388.01).

Citations:

JFM 05.0388.01
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