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Algebraic number theory. (English) Zbl 0153.07403
Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union. London and New York: Academic Press 1967. xviii, 366 p. 100 s. (1967).

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Das vorliegende Buch gibt im wesentlichen die Vorträge wieder, die auf der im September 1965 in Brighton/England durchgeführten Sommerschule über algebraische Zahlentheorie gehalten wurden. Auf den Seiten 1–230 wird eine Einführung in die algebraische Zahlentheorie einschließlich der Klassenkörpertheorie geboten, während auf den Seiten 231–305 über die Ergebnisse aus der algebraischen Zahlentheorie berichtet wird, was das Buch auch für Spezialisten besonders interessant macht. Auf den Seiten 305–347 ist Tates bisher unveröffentlichte Dissertation aus dem Jahre 1950 mit einem kurzen Kommentar des Verf. abgedruckt und den Beschluß des Buches bildet eine Sammlung von Übungsaufgaben, die von Tate mit Serres Hilfe zusammengestellt wurden.
Das Hauptanliegen des Buches besteht in einer verständlichen Einführung in die Klassenkörpertheorie und zwar für Mathematiker, die nicht auf algebraische Zahlentheorie spezialisiert sind. Im Klappentext heißt es hierzu: “\(\dots\) the chapters of class field theory, which in a sense are the backbone of the book, should dispel for ever the aura of mystery with which the absence of any satisfactory exposition has surrounded the subject.”
Dieses Ziel wurde erreicht, soweit es im Rahmen einer 14-tägigen Sommerschule mit verschiedenen Referenten möglich ist. Man vermißt die Einführung der klärenden Konzeption der Klassenformation, sowie eine vollständige Darstellung der Transformationseigenschaften des Artinsymbols und der kanonischen Klasse. Jedoch trägt die Lebendigkeit der Vorträge mit historischen Bemerkungen und Hinweisen auf weiterführende Literatur, insbesondere in Tates Referat, sehr zum Interesse des Buches bei. Es will nur eine erste Einführung in die Klassenkörpertheorie geben. Die Lektüre der weiterhin unentbehrlichen “Class field theory” von E. Artin and J. Tate (1986; Zbl 0176.33504) wird aber nach Kenntnis der ersten sieben Kapitel des vorliegenden Buches nicht schwerfallen. An dieser Stelle möchte ich noch auf die kürzlich erschienene “Klassenkörpertheorie” von J. Neukirch [Bonn. Math. Schr. 26, 296 pp. (1967; Zbl 0165.36602)] hinweisen, die in stärkerem Maße als das vorliegende Buch die Klassenkörpertheorie entmystifiziert.
Im einzelnen werden in dem ersten Kapitel “Local fields” (1–41) von A. Fröhlich lokale Körper einschließlich der oberen Indizierung der Verzweigungsgruppen behandelt. Im zweiten Kapitel “Global fields” (42–84) von J. W. S. Cassels wird die Zahlentheorie der globalen Körper auf der Grundlage von Bewertungen, Adelen und Idelen entwickelt. Als Illustration und Hilfsmittel für die Klassenkörpertheorie folgt Kapitel drei “Cyclotomic fields and Kummer extensions” (85–93) von B. J. Birch eine knappe Behandlung der Kreisteilungskörper und Kummerschen Erweiterungen.
Knapp ist auch das nächste Kapitel “On cohomology of groups” (94–115) über Kohomologie von Gruppen von M. F. Atiyah und C. T. C. Wall. Es werden einige Grundbegriffe der homologischen Algebra vorausgesetzt, aber im übrigen ist die Darstellung “selfcontained”. Tate-Gruppen und Cup-Produkt werden definiert und dann wie üblich die Kohomologie von zyklischen Gruppen und der Satz von Tate abgeleitet.
Im folgenden fünften Kapitel “Profinite groups” (116–127) werden proendliche Gruppen und deren Kohomologie, soweit für die Klassenkörpertheorie notwendig, von K. Gruenberg behandelt.
Es folgen die wichtigsten Kapitel 6 und 7 des Buches: “Local class field theory” (128–161) von J.-P. Serre und “Global class field theory” (162–203) von J. T. Tate. Serres Kapitel beginnt mit der Berechnung der Brauerschen Gruppe. Es folgt der Isomorphiesatz und eine kurze Darstellung der formalen Multiplikation in lokalen Körpern nach J. Lubin and J. Tate [Ann. Math. (2) 81, 380–387 (1965; Zbl 0128.26501)], auf deren Grundlage der Existenzsatz und der Hassesche Satz über die Korrespondenz von \(n\)-ter Verzweigungsgruppe in der oberen Indizierung und \(n\)-ter Einseinheitengruppe abgeleitet werden.
Die Darstellung in Kapitel 7 ist stark an Artin-Tates “Class field theory” angelehnt, unterscheidet sich von diesem Werk jedoch durch eine Vielzahl von historischen Anmerkungen und Literaturhinweisen. Der Funktionenkörperfall wird nur insoweit mitbehandelt, als dadurch kein zusätzlicher Aufwand entsteht.
In Kapitel 8 “Zeta-functions and \(L\)-functions” (204–230) gibt H. Heilbronn als Ergänzung zu den vorhergehenden algebraischen Betrachtungen einen Überblick über die Theorie der \(\zeta\)- und \(L\)-Funktionen und deren Anwendung auf die Primidealverteilung in algebraischen Zahlkörpern.
Die folgenden Kapitel geben den Inhalt von Einzelvorträgen über neue Forschungsergebnisse wieder; soweit diese auch anderweitig publiziert wurden, beschränken wir uns bei der Besprechung auf eine kurze Inhaltsangabe.
Kapitel 9 “On class field towers” (231–249) von Peter Roquette ist dem Satz von Golod-Shafarevich über die Existenz unendlicher Klassenkörpertürme [E. S. Golod and I. R. Shafarevich, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 28, 261-272 (1964; Zbl 0136.02602)] und einem zugehörigem Ergebnis von A. Brumer [Mich. Math. J. 12, 129–131 (1965; Zbl 0136.02701)] gewidmet. Brumers Satz besagt, daß für über \(\mathbb Q\) normale Grundkörper \(k\) der Klassenkörperturm unendlich ist, wenn es genügend viele verzweigte Primstellen in \(k\) gibt. Tatsächlich ist die mit eigenem Beweis abgeleitete Abschätzung etwas schärfer als die entsprechende Abschätzung von Golod-Shafarevich. Die Verschärfung in der Ungleichung von Golod-Shafarevich ist ein Ergebnis, das von Gaschütz und mit einer anderen Methode von È. B. Vinberg [Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 29, 209–214 (1965; Zbl 0171.29401)] bewiesen wurde.
Kapitel 10 “Semi-simple algebraic groups” (250–265) von M. Kneser gibt eine Übersicht über ergebnisse der arithmetischen Theorie halbeinfacher linearer algebraischer Gruppen, insbesondere über Galoiskohomologie und Tamagawa-Zahlen.
In Kapitel 11 “History of class field theory” (266–279) gibt H. Hasse einen Abriß der Geschichte der Klassenkörpertheorie beginnend mit den ersten Ansätzen von Kronecker, Hilbert und Weber bis zur idele-theoretischen rein algebraischen Darstellung von Chevalley aus dem Jahre 1940.
In Kapitel 12 “An application of computing to class field theory” (280–291) berichtet H.P.F. Swinnerton-Dyer über numerische Rechnungen auf Elektronenrechenautomaten in Zusammenhang mit elliptischen Kurven und daraus abgeleitete Vermutungen bezüglich Abelscher Mannigfaltigkeiten.
Kapitel 13 “Complex multiplication” (292–296) von J.-P. Serre (prepared by B. J. Birch) ist der algebraischen Theorie der komplexen Multiplikation über imaginär-quadratischen Körpern gewidmet. Der Verf. zeigt, wie man Ergebnisse von M. Deuring [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 16, No. 1–2, 32–47 (1949; Zbl 0033.15901) und Math. Ann. 124, 393–426 (1952; Zbl 0047.27101)] sehr kurz und elegant ableiten kann.
In Kapitel 14 “\(\ell\)-extensions” (297–304) berichtet K. Hoechsmann über Ergebnisse zur Struktur maximaler \(\ell\)-Erweiterungen mit vorgegeben Verzweigungsstellen.
Das letzte Kapitel “Fourier analysis in number fields and Hecke’s \(\zeta\)-functions” (305–366) ist der unveränderte erstmalige Abdruck der Doktor-Dissertation (Princeton, 1950) von J. Tate, in der die Heckesche Funktionalgleichung mit den Mitteln der Fourier-Analysis auf lokalkompakten Gruppen abgeleitet wird. Eine mehr auf die Anwendungen zugeschnittene Darstellung findet sich im Buch von S. Lang [Algebraic numbers. Reading et al. (1964; Zbl 0211.38501), Kapitel 7].

MSC:
11-06 Proceedings, conferences, collections, etc. pertaining to number theory
00B25 Proceedings of conferences of miscellaneous specific interest
11R37 Class field theory
11Rxx Algebraic number theory: global fields
11Sxx Algebraic number theory: local fields
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
11S80 Other analytic theory (analogues of beta and gamma functions, \(p\)-adic integration, etc.)
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11S40 Zeta functions and \(L\)-functions