Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. (German) JFM 16.0083.02

Kronecker, L.

Berl. Ber. 1884, 1179-1193 (1884).

Im Anschluss an die Behandlung der Frage der Periodensysteme geht Herr Kronecker auf die Ergründung der näherungsweisen ganzzahligen Lösungen der Systeme \[ \text{(1)}\quad \sum_{k=1}^q a_{ik}w_k=\xi_k,\quad (i=1,2,\dots,p) \] ein, und er erledigt dieselbe vollständig durch den von ihm in seiner “Festschrift” eingeführten Begriff des Ranges \(r\) eines Systems \((a_{ik})\). \(r\) ist die grösste Zahl von der Beschaffenheit, dass nicht alle aus den \(a_i\) zu bildenden Determinanten \(r^{\text{ter}}\) Ordnung verschwinden. Dann ist es klar, dass die Gleichungen (1) auch für die beliebigen Grössen \(w\) bei willkürlichen \(\xi\) nur erfüllbar sind, falls \(p=i\) wird. Fordert man aber annähernde Lösung durch ganze Zahlen \(w\), dann tritt der Begriff des “Rationalitäts-Ranges” \({\mathfrak r}\) von \((a_{ik})\) als notwendig hinzu. Die Bedeutung desselben und seine Aehnlichkeit mit dem absoluten Range erkennt man aus dem folgenden Satze: Das System \((a_{ik})\) vom Range \(r\) kann durch lineare Transformationen der Zeilen (mit irgend welchen Coefficienten) in ein solches verwandelt werden, welches nur \(r\) Zeilen hat, die nicht lauter Null-Elemente enthalten, und nur \({\mathfrak r}\) Zeilen, in denen nicht sämtliche Elemente ganze Zahlen sind. Dabei sind \(r\) und \({\mathfrak r}\) die kleinsten Zahlen, für welche dies möglich ist. Der Einfluss und die charakteristischen Eigenschaften dieser Zahlen \(r,{\mathfrak r}\) auf \((a_{ik})\) werden nun eingehend untersucht. Nimmt man die erwähnten \({\mathfrak r}\) Zeilen als die ersten, so folgt, dass diese ersten \({\mathfrak r}\) Gleichungen des Systems (1) annähernd mit beliebiger Genauigkeit durch ganze Zahlen \(w\) gelöst werden können, die \(r\) ersten (linear unabhängigen) nur dann, wenn zwischen den \(\xi\) noch \(r-{\mathfrak r}\) Relationen bestehen; und sollen alle \(p\) Gleichungen (1) annähernd befriedigt werden, dann sind ausserdem noch \(p-r\) Relationen von den \(\xi\) zu erfüllen; und zwar so, dass \(r-{\mathfrak r}\) lineare Functionen der \(\xi\) irgend welche ganzzahligen Werte, und \(p-r\) andere lineare Functionen der \(\xi\) den Wert Null haben. Es können also \({\mathfrak r}\) von den Grössen \(\xi\) ganz beliebig angenommen werden; die Wahl von \(r-{\mathfrak r}\) anderen wird dann bloss durch Rationalitäts-Beziehungen beschränkt, aber die noch verbleibenden \(p-r\) Grössen \(\xi\) sind auch dem Werte nach durch die ersten \(r\) Grössen \(\xi\) vollständig bestimmt. In den ersten Paragraphen der Abhandlung werden die Fälle \(q=2\) und \(q=3\) eingehend durchgeführt, und damit wird nochmals in einfachster Weise die Frage nach den Periodensystemen beantwortet.

Reviewer: Netto, Prof. (Berlin)