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Ueber Multiplication bedingt convergenter Reihen. (German) JFM 16.0195.01

Herr Pringsheim hat die Anwendbarkeit der Cauchy’schen Multiplicationsregel auf bedingt convergirende Reihen \[ \sum a_i,\;\sum b_i \qquad (i=0,\;1,\ldots) \] untersucht, im Falle dass die Reihe \[ \tfrac 1 2 a_0 + \tfrac 1 2 \sum^{i=\infty}_{i=0}(a_i+a_{i+1}) \] unbedingt convergirt (Vgl. F. d. M. XV. 1883. 177, JFM 15.0177.01). Herr Voss zeigt, dass, wenn die Reihe \[ (a_0+a_2) + (a_1+a_3) + \cdots \] unbedingt convergirt, die notwendige und hinreichende Bedingung zur Anwendung der genannten Regel darin besteht, dass jeder der Ausdrücke \[ \begin{aligned} & v_{2n} = a_0 b_{2n} + a_2 b_{2n-2} + \cdots + a_{2n} b_0, \\ & w_{2n} = a_1 b_{2n-1} + a_3 b_{2n-3} + \cdots + a_{2n-1} b_1\end{aligned} \] bei \(\lim n=+\infty\) zum Grenzwerte 0 convergirt.

Citations:

JFM 15.0177.01
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