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Ueber eine Eigenschaft der Potenzreihen. (German) JFM 16.0202.01
1) Es sei \(F(x)\) eine in der Umgebung von \(x=0\) analytische Function, die diesen Charakter für \(x=\alpha_1\) und für keinen andern Punkt, dessen absoluter Betrag kleiner oder \(=[\alpha_1]\) ist, verliert, dann stellt, wenn \([\alpha]<[\alpha_1]\) und \(F(\alpha)\) von Null verschieden ist, \(f(x)=\frac {F(x)} {\alpha-x}\) den einfachsten Typus von Functionen dar, die in eine Potenzreihe \[ a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots \] entwickelbar sind, für welche der Radius des Convergenzkreises gleich \([\alpha]\) ist. Bei dieser Functionsklasse erhält man den kritischen Punkt \(\alpha\) unmittelbar durch die Formel \[ \lim \left(\frac {a_n} {a_{n+1}}\right)_{n=\infty}=\alpha. \]
2) Ist \(F(\alpha)=0\), dann hört die Gültigkeit dieser Formel auf, aber in allen Fällen gilt die Gleichung \[ \lim \left(\frac {R_n(\alpha)} {R_{n+1}(\alpha)} \right)_{n=\infty}= \frac {\alpha_1} {\alpha}, \] wo \(R_n(\alpha)\) den Rest der Reihenentwickelung von \(F(x)\) für \(x=\alpha\) nach den \(n+1\) ersten Gliedern bedeutet.
3) In die unter 1) behandelte Functionsklasse gehört \(\frac {F(x)} {\varphi(x)}\), wenn \(\varphi(x)=0\) keine Wurzeln von gleichem absoluten Betrag besitzt, und \(F(x)\) eine ganze Function ist, die mit \(\varphi(x)\) keinen gemeinschaftlichen Teiler hat. Aus der Reihe \[ \frac {F(x)} {\varphi(x)}= a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots \] erhält man alsdann den Wert der dem absoluten Betrage nach kleinsten Wurzel \(\alpha\) von \(\varphi(x)=0\) durch die Formel \[ \lim \left(\frac {a_n} {a_{n+1}} \right)_{n=\infty}=\alpha. \]

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