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Principii di una teoria delle forme Differenziali quadratiche. (Italian) JFM 16.0230.01
Während die Theorie der quadratischen Differentialausdrücke, wie sie von Riemann, Christoffel, Lipschitz, Beez, Voss u. a. in den letzten Decennien entwickelt wurde, hauptsächlich auf Analogien gegründet worden ist, welche durch geometrische und analytisch-mechanische Begriffe und Thatsachen, wie sie für unseren Raum und die gewöhnlichen Flächen von zwei Dimensionen gelten, an die Hand gegeben wurden, beabsichtigt der Herr Verfasser mit vorliegender Abhandlung eine Reihe von Untersuchungen zu beginnen, welche in ganz selbständiger Weise auf Grund rein analytischer Begriffe die genannte Theorie aufbauen sollen, zumal gerade der Fall von nur zwei unabhängigen Veränderlichen, wie sich auch im Verlaufe der Untersuchungen ergiebt, in vielen Beziehungen sich als ein singulärer darstellt.
Von wesentlicher Bedeutung ist der Begriff der Klasse. Nach einer Bemerkung Schläfli’s (Brioschi Ann. (2) V. p. 178.ff. cf. F. d. M. IV. 1872. p. 241 f. (JFM 04.0241.03)) kann ein (positiver) quadratischer Differentialausdruck \(\varphi=\sum_{r,s=1}^n a_{rs} dx_r dx_s\) stets aus einem Ausdruck \(\sum_{r=1}^{n+h} dy^2_r\) hergeleitet werden, wo \(h\) eine zwischen Null und \(\frac 12 n(n-1)\) gelegene Zahl bedeutet, und \(y_1,\dots, y_{n+1}\) in passender Weise als Functionen von \(x_1,\dots, x_n\) zu wählen sind ist \(h\) die kleinste Zahl, für welche dies möglich ist, so heisst \(\varphi\), von der Klasse \(h\). Der Aufsatz beginnt mit der Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass eine Form \(\varphi\) reducibel sei, und es wird gezeigt, wie die Reduction dann auszuführen ist (§1). Daran schliesst sich (§2) zunächst eine neue Herleitung der schon von Lipschitz (Borchardt J. Bd. LXX.) und zum Teil vorher von Christoffel und Riemann gegebenen Kriterien dafür, dass \(\varphi\) von der Klasse Null sei. Im §3 werden dann nach Ableitung einiger Formeln, deren Anwendbarkeit sich auch auf das Studium der Formen von höherer als der hier berücksichtigten Klasse erstreckt, die notwendigen und ausreichenden Bedingungen aufgestellt, damit eine Form von der Klasse Eins sei. Hierzu wird die specielle Form festgestellt, welche in diesem Falle diejenigen \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}\) Ausdrücke \((lm, pq)\) annehmen, deren Verschwinden ausdrückt, dass \(\varphi\) von der Klasse Null ist; es ergiebt sich, dass sie in diesem Falle die Minoren zweiter Ordnung einer symmetrischen Determinante \(n^{\text{ter}}\) Ordnung sind. Bezeichnet man mit \((l, p)\) die \(\frac 12 n(n+1)\) Elemente dieser Determinante, so ist im Falle \(n=2\) nur eins von ihnen bestimmt als Function von (12, 12) und den beiden anderen, im Falle \(n=3\) sind es alle, und für \(n>3\) führt ihre Elimination auf \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}-\frac{n(n+1)}{2}\) Relationen zwischen den \((lm, pq)\), d. h. auf ebensoviel Differentialrelationen zweiter Ordnung zwischen den Coefficienten von \(\varphi\). Ferner haben die Grössen \((l, p)\) noch \(\frac 13(n^2-1)n\) Differentialrelationen erster Ordnung zu genügen. Als eine Folgerung hieraus ergiebt sich, dass es für \(n>2\) unmöglich ist, \(n\)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten (Flächen) in einem Raume von \(n+1\) Dimensionen (ohne Aenderung des Linienelements) zu deformiren, wie schon Beez (Schlömilch Z. XXI. p. 373ff. cf. F. d. M. IX. 1877. p. 513 (JFM 09.0513.01)) auf geometrische Betrachtungen sich stützend gezeigt hat. Zum Schluss werden die \(n\) absoluten Invarianten von \(\varphi\) und der quadratischen Form \(\psi\) mit den Coefficienten \((l, p)\) ihrer geometrischen Bedeutung nach untersucht.

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