×

Quelques recherches sur la théorie des quadratures dites mécaniques. (French) JFM 16.0242.02

Zuerst wird gezeigt, dass die ganze Function \(n^{\text{ten}}\) Grades \(P_n(x)\), welche die \(n\) Bedingungen \[ \int_a^b f(x)P_n(x)x^kdx=0\qquad (k=0,1,\dots,n-1) \] erfüllt, für die beständig positive und integrable Function \(f(x)\) stets existirt. Ihre Eigenschaften sind folgende. Die Wurzeln der Gleichung \(P(x)=0\) sind reell, ungleich und zwischen \(a\) und \(b\) enthalten mit Ausschluss der Grenzen. Die Functionen \(P_k(x)\) lassen sich successive aus einander berechnen. Die Wurzeln von \(P_{k-1}(x)=0\) trennen die Wurzeln von \(P_k(x)=0\). Sind \(x_1,x_2,\dots,x_n\) die Wurzeln von \(P_n(x)=0\) und setzt man \[ A_k=\int_a^b\frac{f(x)P_n(x)dx}{(x-x_k)(P_n'(x_k)}, \] so ist für eine Function \(G(x)\), die höchstens vom \((2n-1)^{\text{ten}}\) Grade, \[ \int_a^b f(x)G(x)dx= A_1G(x_1)+A_2G(x_2)+\dots+A_nG(x_n). \] Alle \(A\) sind positiv. Ferner ist \[ A_1+A_2+\cdots+A_k>\int_a^{x_k}f(x)dx\quad (k=1,2,\dots,n), \]
\[ A_1+A_2+\cdots+A_k<\int_a^{x_{k+1}}f(x)dx\quad (k=1,2,\dots,n-1). \] Wendet man dieselben Coefficienten \(A\) auf eine beliebige integrable Function \(F(x)\) an, so ist approximativ \[ \int_{-1}^1 F(x)dx= A_1F(x_1)+A_2F(x_2)+\dots+A_nF(x_n); \] die Annäherung ist unbegrenzt. Es wird nun bewiesen, dass die Differenzen der nach der Grösse geordneten consecutiven Wurzeln von \(P_n(x)=0\) und der Grenzen -1 und 1 für \(n=\infty\) unendlich klein sind.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML