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On differential equations the integrals of which have fixed branching points. (Ueber Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen.) (German) JFM 16.0248.01

Eines der wesentlichsten Merkmale der linearen Differentialgleichungen ist, dass die Verzweigungspunkte ihrer Integrale eine feste, d. h. von den willkürlich angenommenen Anfangswerten derselben unabhängige Lage haben. Gegenstand der vorliegenden Note ist nun die Charakterisirung der Differentialgleichungen überhaupt, deren Integrale feste Verzweigungspnnkte besitzen. Die Untersuchung wird zunächst nur für den Fall der Differentialgleichungen erster Ordnung geführt, jedoch nach einer Methode, die im wesentlichen auch für Differentialgleichungen höherer Ordnung gültig bleibt. Als Ausgangspunkt dient die Bemerkung, dass, wenn die Verzweigungspunkte sich nicht mit den Aenderungen der Anfangswerte der Integrale stetig verschieben sollen, kein Gebiet der unabhängigen Variablen derart existiren darf, dass Integrale angebbar sind, die sich in einem beliebigen Punkte dieses Gebiets verzweigen. Sei \(F(x,y,y')=0\) die zu betrachtende Gleichung, wo \(F\) eine rationale Function von \(y\) und \(y'\) ist, deren Coefficienten von \(x\) abhängen, und die irreductibel in Bezug auf \(y'\) ist. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die fragliche Eigenschaft der Differentialgleichung sind dann: 1) die Gleichung hat die Form \[ F={y'}^m+\psi_1{y'}^{m-1}+\psi_2{y'}^{m-2}+\cdots+\psi_m=0, \] worin \(\psi_k\) eine ganze rationale Function vom Grade \(2k\) in Bezug auf \(y\) ist, mit von \(x\) abhängigen Coefficienten. 2) Ist \(y=\eta\) ein (im allgemeinen von \(x\) abhängiger) Wert, für welchen sich \(y'\) als algebraische Function von \(y\) verzweigt, so ist \(y'=\frac{d\eta}{dx}\) in sämtlichen über \(\eta\) liegenden Verzweigungsstellen der \(y'\) darstellenden Riemann’schen Fläche, \(\eta\) ist demnach ein Integral von \(F=0\). 3) Hängen \(\alpha\) Blätter in einer Verzweigungsstelle \(y=\eta,\;y'=\frac{d\eta}{dx}\) zusammen, so beginnt die Entwickelung von \(y'-\frac{ d\eta}{dx}\) nach steigenden Potenzen von \((y-\eta)^{\frac 1\alpha}\) mit \(g(y-\eta)^{\frac k\alpha}\), wo \(k\geqq \alpha-1\) ist. Unter den Anwendungen erscheint der Fall bemerkenswert, dass sämtliche Verzweigungswerte \(y=\eta\) von \(x\) unabhängig sind, es ergiebt sich nämlich alsdann, dass das Geschlecht der \(y'\), als Function von \(y\) definirenden Gleichung \(F=0\) gleich Null oder 1 sein muss. In dem einfachsten hierher gehörigen Falle, dass die Coefficienten \(\psi\) selbst von \(x\) unabhängig sind, gelangt man zu den bekannten bereits von den Herren Briot und Bouquet angegebenen Resultaten.

MSC:

34M05 Entire and meromorphic solutions to ordinary differential equations in the complex domain
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