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Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variabeln. (German) JFM 16.0309.02

Erst seitdem durch die fundamentalen Untersuchungen Jacobi’s und die sich an diese anschliessenden Arbeiten in der Theorie der simultanen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer unbekannten Function ein gewisser Abschluss erreicht worden ist, können wir uns als im Besitz jener Hülfsmittel betrachten, ohne die eine umfassendere Untersuchung der Differentialgleichungen höherer Ordnung wohl kaum gelingen dürfte. Durch Verallgemeinerung der von Jacobi angebahnten Methoden unternimmt es der Verfasser der vorliegenden wichtigen Arbeit, in der allgemeinen Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung die bisherigen Methoden, die wir namentlich Ampère verdanken, zu verlassen und neue Wege einzuschlagen.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variabeln in der Form angenommen werden: \[ (\alpha)\quad r+f(x,y,z,p,q,s,t)=0, \] wo in üblicher Weise \[ \frac{\partial z}{\partial x}=p,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=q,\quad \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=r,\quad \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=s,\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=t \] gesetzt ist. Behufs Bestimmung einer vollständigen Lösung dieser Gleichung bilde man nun unter Hinzunahme zweier weiterer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit den willkürlichen Constanten \(a_1\) und \(a_2\) das System \[ (\beta)\quad r+f=0,\quad u(x,y,z,p,q,s,t)=a_1,\quad v(x,y,z,p,q,s,t)=a_2 \] und unterwerfe es der Bedingung, ausser nach \(r, s, t\) auflösbar, auch unbeschränkt integrabel zu sein, d. h. für \(z\) Functionen mit drei willkürlichen Constanten \(a_3, a_4, a_5\) zu liefern. Dann ist die allgemeine Lösung \(z=F(x,y,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\) dieses unbeschränkt integrablen Systems \((\beta)\), die man bekanntlich durch Integration eines Systems totaler Differentialgleichungen erhält (cf. Mayer, Clebsch Ann. V.), zugleich immer eine voflständige Lösung der vorgelegten Differentialgleichung \((\alpha),\;(\S 2)\). Damit nun das System \((\beta)\) den geforderten Bedingungen genüge, hat man \(u\) und \(v\) als Functionen von \(x, y, z, p, q, s, t\) zu bestimmen, welche den zwei simultanen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung \[ (\gamma)\quad \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t}\left(\frac{dv}{dx}\right) & +\left(\frac{\partial f}{\partial s}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial s} \frac{\partial f}{\partial t}\right) \left(\frac{dv}{dy}\right) \\ & -\left(\left(\frac{df}{dy}\right)\frac{\partial u}{\partial t}- \frac{\partial f}{\partial t}\left(\frac{du}{dy}\right)\right) \frac{\partial v}{\partial s} \\ & +\left(\left(\frac{df}{dy}\right)\frac{\partial u}{\partial s} -\frac{\partial f}{\partial s}\left(\frac{du}{dy}\right)-\left(\frac{du}{dx}\right)\right) \frac{\partial v}{\partial t}=0, \\ \frac{\partial u}{\partial s}\left(\frac{dv}{dx}\right) & +\frac{\partial u}{\partial t}\left(\frac{dv}{dy}\right)- \left(\frac{du}{dx}\right)\frac{\partial v}{\partial s}- \left(\frac{du}{dy}\right)\frac{\partial v}{\partial t}=0 \end{aligned} \right. \] genügen, wo \[ \left(\frac{d}{dx}\right)\;\text{und}\;\left(\frac{d}{dy}\right)\;\text{resp.}\;\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial z}\,p+ \frac{\partial}{\partial p}\,r+\frac{\partial}{\partial q}\,s \] und \[ \frac{\partial}{\partial y}+ \frac{\partial}{\partial z}\,q+ \frac{\partial}{\partial p}\,s+\frac{\partial}{\partial q}\,t \] bedeuten (§1). Jede particuläre Lösung \(u, v\) dieses Systems, für welche \[ D\equiv\frac{\partial u}{\partial s}\;\frac{\partial v}{\partial t}- \frac{\partial u}{\partial t}\;\frac{\partial v}{\partial s} \] nicht verschwindet, ergiebt dann eine vollständige Lösung von \((\alpha)\). Von den gesamten Functionen \(u\), welche diesen Bedingungen genügen, kann nun diejenige Klasse, als für die Lösung unseres Problems bedeutungslos, von vornherein ausgeschlossen werden, für welche das System \((\gamma)\) in Bezug auf \(v\) kein vollständiges ist (§3), und es wird zunächst diejenige Klasse einer ausführlichen Untersuchung unterworfen (§4), für welche das System \((\gamma)\) einer einzigen Gleichung äquivalent ist. Die Existenz dieser Klasse überhaupt setzt voraus, dass die vorgelegte Gleichung \((\alpha)\) von bestimmter Art sei; damit \(u\) dieser Klasse angehöre, muss diese Function eine Lösung eines derjenigen beiden Systeme \((\delta)\) sein, die man erhält, wenn man in den Gleichungen \[ \frac{\partial u}{\partial x}\,\mu+\frac{\partial u}{\partial t}=0,\quad \left(\frac{du}{dx}\right)+\left(\mu+\frac{\partial f}{\partial s}\right)\left(\frac{du}{dy}\right)-\left(\frac{df}{dy}\right) \frac{\partial u}{\partial s} =0 \] für \(\mu\) die beiden Wurzeln der charakteristischen Gleichung \[ \mu^2+\frac{\partial f}{\partial s}\;\mu+\frac{\partial f}{\partial t}=0 \] einsetzt; \(v\) hat man dann einfach aus der linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung \[ \frac{\partial u}{\partial s}\left(\frac{dv}{dx}\right)+\frac{\partial u}{\partial t}\left(\frac{dv}{dy}\right)- \left(\frac{du}{dx}\right)\frac{\partial v}{\partial s}- \left(\frac{du}{dy}\right)\frac{\partial v}{\partial t}=0 \] so zu bestimmen, dass der Gleichung \(D=0\) nicht auch genügt wird. §5 liefert die Discussion der durch diese Methoden zu bestimmenden Lösungen von \((\alpha)\) in Bezug auf ihre Allgemeinheit. Ist eines der Systeme \((\delta)\) integrabel, so erhält man mit Hülfe einer Lösung \(u\) desselben nicht bloss eine, sondern unendlich viele vollständige Lösungen von \((\alpha)\), die jedoch, wenn das System nur eine Lösung hat, nicht alle Lösungen umfassen; hat aber eines der Systeme \((\delta)\) zwei unabhängige Lösungen, so kann man mit Hülfe der angegebenen Methoden die allgemeine Lösung von \((\alpha)\), d.h. die durch beliebige Anfangswerte bestimmte Lösung, aufstellen.
Die Klasse von Functionen \(u\), welche den eben angedeuteten Entwickelungen zu Grunde liegt und , wie schon erwähnt, bloss für gewisse partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnuug existirt, ist nur als Grenzfall in derjenigen enthalten, die allein noch zu betrachten übrig ist und alle diejenigen Functionen umfasst, für welche die beiden Gleichungen \((\beta)\) in Bezug auf \(v\) als unbekannte Function ein vollständiges System bilden. Die Bedingungsgleichungen, denen die Functionen dieser Klasse zu genügen habcn, würden sich nun allerdings unmittelbar entwickeln lassen; da aber einerseits die Aufstellung und besonders die Untersuchung des Zusammenhangs dieser Gleichungen zu ziemlich complicirten Rechnungen führen würde, andrerseits um die ganze Theorie von einer zweiten, gleich wichtigen Seite darzustellen, schlägt der Verfasser von hier an nun einen anderen Weg ein (§6). Ist \(u\) keine Lösung der Systeme \((\delta)\), so kann die Gleichung \(u=a_1\) höchstens eine vollständige Lösung von \((\alpha)\) liefern, und es wird gezeigt, wie man dieselbe dann aus einem gewissen unbeschränkt integrablen System \((\varepsilon)\) auch ohne Aufstellung der Gleichungen \(v=a_2\) des Systems \((\beta)\) bestimmen kann. Damit aber \((\varepsilon)\) in der That vollständig integrabel sei, sind gewisse Bedingungen zu erfüllen, denen die Function \(u\) zu genügen hat; es ist von wesentlicher Bedeutung, dass sich die zwei partiellen Differentialgleichungen, die sich für \(u\) ergeben, auf eine einzige lineare, partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung \(R=0\) mit den unabhängigen Variabeln \(x, y, z, p, q, s, t\) reduciren; jede particuläre Lösung dieser Gleichung, die nicht zugleich der Differentialgleichung erster Ordnung \[ \varDelta\equiv\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)-\frac{\partial u}{\partial s}\left(\frac{\partial f}{\partial s}\;\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial f}{\partial t}\;\frac{\partial u}{\partial s}\right)=0 \] genügt, giebt eine vollständige Lösung der vorgelegten Gleichung \((\alpha)\). Ist \(u\) auch eine Lösung der Gleichung \(\varDelta=0\), so muss sie, falls sie überhaupt eine vollständige Lösung liefern soll, zugleich der zweiten Gleichung des entsprechenden Systems \((\delta)\) genügen, und dann ist man wieder auf den Fall zurückgeführt, in welchem die Methoden der §§4 und 5 unendlich viele vollständige Lösungen ergeben. Die genannten beiden Fälle geben die sämtlichen vollständigen Lösungen der Gleichungen \((\alpha)\). Als ein Hauptresultat der angedeuteten Entwickelungen des Verfassers heben wir hervor, dass das wesentlichste Moment aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, welches darin besteht, dass die Bestimmung einer vollständigen Lösung sich auf die Bestimmung einer particulären Lösung einer anderen, eine grössere Anzahl unabhängiger Variabeln enthaltenden, aber linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung zurückführen lässt, sich, wie man sieht, als auch in der Theorie der Gleichungen zweiter Ordnung vorhanden herausstellt. Kann man nun aber die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung durch die Bestimmung der vollständigen Lösungen als erledigt betrachten, weil man aus einer solchen jede andere Lösung mittels bekannter Operationen abzuleiten im Stande ist, so ist diese Bestimmung in Bezug auf Gleichungen zweiter Ordnung nur ein erster Schritt. Deswegen nimmt der Verfasser (§7) eine Erweiterung des Begriffs der vollständigen Lösung vor, indem er Lösungen mit mehr als fünf willkürlichen Constanten \(5+r\) die ebenfalls keiner anderen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen und vollständige Lösungen \(r^{\text{ten}}\) Ranges heissen, wenn die Anzahl der willkürlichen Constanten \(5+r\) ist (cf. die vollständigen Lösungen mit “überzähligen” willkürlichen Constanten bei Jacobi). Die Bestimmung einer vollständigen Lösung vom Range \(2k-4\) geschieht (§8) ganz analog, wie in dem Falle einer gewöhnlichen vollständigen Lösung. Die der oben mit \(u\) bezeichneten analoge Function ergiebt, einer willkürlichen Constanten gleichgesetzt, hier eine Differentialgleichung \(k^{\text{ter}}\) Ordnung, deren allgemeinste mit der Gleichung \((\alpha)\) gemeinschaftliche Lösung \(2k\) weitere willkürliche Constanten enthält und in Bezug auf diese eine vollständige Lösung vom Range \(2k-4\) ist; diese vollständige Lösung wird auch hier durch die Integration eines Systems totaler Differentialgleichungen erhalten. Die Bestimmung der Function \(u\) geschieht wiederum mit Hülfe einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung \(R=0\) mit einer grösseren Anzahl unabhängiger Variabeln. Im allgemeinen liefert jede particuläre Lösung dieser Gleichung eine vollständige Lösung vom Range \(2k-4\) von \((\alpha)\). Jedoch giebt es (§9) für jedes \(k\geqq 2\) eine bestimmte Klasse von Differentialgleichungen \((\alpha)\), in Bezug auf welche Differentialgleichungen \(k^{\text{ter}}\) Ordnung angegeben werden können, die unendlich viele mit \((\alpha)\) gemeinschaftliche Lösungen besitzen, u. s. w. Die Gesamtheit dieser Lösungen wird ausschliesslich durch Integration totaler Differentialgleichungen bestimmt und giebt unter gewissen Umständen die allgemeine Lösung. Unter Voraussetzung gewisser von Herrn Lévy (C. R. LXXV. p. 1094 ff., cf. F. d. M. IV. 1872. p. 172 f., JFM 04.0172.03) angegebener Sätze zeigt sich dann weiter, dass diese speciellen Klassen sämtliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung umfassen, deren Integration überhaupt auf diejenige totaler Differentialgleichungen zurückgeführt werden kann. Der Schlussparagraph (§10) enthält Bemerkungen über die Anwendung der Methode der Variation der Constanten auf eine vollständige Lösung der Gleichung \((\alpha)\), die zwar keine Vereinfachung des Integrationsverfahrens, wie bei den Gleichungen erster Ordnung, aber wichtige Transformationen des Problems, d.h. neue Resolventen \((R=0)\) von \((\alpha)\) liefert.

Citations:

JFM 04.0172.03
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