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Sur quelques conséquences de la formule de Green et sur la théorie du potentiel. (French) JFM 16.0846.01

Aus dem Green’schen Satze werden mehrere sich leicht ergebende und zum Teil bekannte Folgerungen abgeleitet, von denen hier folgende erwähnt werden mögen. Ist \(V\) das Potential der mit Masse von der Dichtigkeit \(h\) belegten Oberfläche \(S\), deren Element \(d \sigma\) ist; ist ferner \(V'\) das Potential derselben Oberfläche für die Dichtigkeit \(h'\), \(U\) das Potential des mit Masse von der Dichtigkeit \(\varrho\) erfüllten beliebigen Raumes \(T\), \(dw\) ein Volumenelement dieses Raumes, so gelten die Gleichungen: \[ \begin{aligned} & \int _{S} Vh'd \sigma = \int _{S}V'hd \sigma,\\ & \int _{T} V \varrho dw = \int_{S}Uhd \sigma,\\ & \int _{T} (V+U) \varrho dw + \int _{S} (V+U)hd \sigma = \frac{1}{4 \pi} \int _{\infty} \varDelta_{1} (V+U)dw.\end{aligned} \] Hierin ist \[ \varDelta_{1}(f) = \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right ) ^2 + \left ( \frac {\partial f}{\partial y} \right ) ^2 + \left ( \frac {\partial f}{\partial z} \right ) ^2, \] wärend der neben dem Integralzeichen stehende Buchstabe den Integrationsbereich bezeichnet.
Der grösste Teil der Arbeit ist einer Ableitung der Gauss’schen Sätze über äquivalente Massentransposition gewidmet. Der Gedankengang der Ableitung ist folgender: der Ausdruck \[ P = \frac{1}{4 \pi} \int _{\infty} \varDelta_{1} (V+U) dw \] hat stets einen positiven, endlichen Wert. Variirt man nun die Dichtigkeit \(h\) auf \(S\), während die Dichtigkeit \( \varrho\) in \(T\) ungeändert bleibt, so muss nach des Verfassers Ansicht unter allen möglichen Dichtigkeitsverteilungen \(h\) auch eine solche existiren, welche \(P\) zu einem Minimum macht. Mit Hülfe der zweiten und dritten der obigen Gleichungen lässt sich nun \(P\) auf die Form bringen \[ P= \int _{S} (V + 2U) hd \sigma + \int _{T} U \varrho dw. \] Hier ist der zweite Summand constant, und der erste wird ein Minimum für eine solche Massenverteilung, für die längs der ganzen Oberfläche \(S\) die Relation \[ V+U= \text{Const}. \] gilt. Dass eine gegebene Masse \(U\) stets nur auf eine Art der obigen Bedingung gemäss verteilt werden kann, wird durch ein indirectes Beweisverfahren gezeigt; und nun ergiebt sich der Satz von der Massentransposition sofort. Einwendungen dürften sich vor allem gegen die Annahme erheben lassen, dass ein Minimum von \(P\) notwendig existiren müsse.
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