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Théorie des actions électrodynamiques les plus générales qui puissent être observées. (French) JFM 16.1032.01

Es werden folgende, auf der Erfahrung beruhende Principien zu Grunde gelegt.
a) Die Kraft eines geschlossenen Stromsystems (aus Strömen und Magneten bestehend) auf zwei zusammenfallende, von entgegengesetzten Strömen durchflossene Stromelemente ist = 0.
b) Hinsichtlich der Wirkung eines geschlossenen Stromsystems auf ein Stromelement kann letzteres durch drei senkrechte Componenten ersetzt werden.
c) Die Wirkung eines geschlossenen Stromsystems auf ein Stromelement reducirt sich auf eine auf demselben senkrechte Kraft.
d) Die Wirkung eines geschlossenen Stromsystems auf ein starres geschlossenes Solenoid ist = 0.
Hieraus ergiebt sich zunächst, dass die neun Componenten eines geschlossenen Stromsystems auf ein Stromelement sich auf folgende drei reduciren: \[ (1)\quad X=ids\left( C\frac{dy}{ds} - \frac{dz}{ds} \right) \text{ u.s.w.}, \] wo \(A, B, C\) Functionen von \(x, y, z\) sind, welche keine Differentialquotienten \(\frac{dx}{ds}\) u. s. w. enthalten. (Der Verfasser nimmt ein linkshändiges Coordinatensystem an). Mittels der bekannten Beziehung zwischen einem Flächenintegral und dem über seine Begrenzung ausgedehnten Linienintegral, \[ (a)\quad \int f\frac{dx}{ds} ds = \int \left( \frac{df}{dz} \cos Ny - \frac{df}{dy}\cos Nz \right) d\sigma, \] wo \(N\) die Normale der Fläche \(\sigma\) bedeutet, (und zwar nach der Nordpolrichtung eines in der Richtung \(ds\) die Fläche umkreisenden Stroms genommen), ergiebt sich aus Gleichung (1) für die \(x\)-Componente der Kraft eines geschlossenen Stromsystems auf einen geschlossenen, die Fläche \(\sigma\) umkreisenden Strom \[ (2)\quad \begin{cases} X=i\int \left[ -\left( \frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dz} \right) \cos Nx \right. \\ \left. +\frac{dB}{dx}\cos Ny + \frac{dC}{dx} \cos Nz \right] d\sigma \end{cases} \] und für das Drehungsmoment um die \(x\)-Axe \[ (2^{\text{a}})\quad \begin{cases} M_x=i \int\left[ \left( \frac{dA}{dz} y - \frac{dA}{dy} z \right) \cos Nx \right. \\ +\left( \frac{dA}{dx}z + \frac{dB}{dz} y+\frac{dC}{dz} z +C \right) \cos Ny \\ \left. -\left( \frac{dA}{dx} y + \frac{dB}{dy} y + \frac{dC}{dy}z + B\right) \cos Nz \right] d\sigma \\ = i\int (f_x\cos Nx + f_y\cos Ny + f_z\cos Nz )d\sigma, \end{cases} \] was für ein geschlossenes Solenoid vom Bogenelement \(ds\) übergeht in \[ M_x=i\frac{d\sigma}{ds} \int \left( f_x\frac{dx}{ds} + f_y\frac{dy}{ds} +f_z\frac{dz}{ds} \right) ds. \] Da nun nach Satz d) \(M_x = 0\) sein soll, so muss \(f_x\frac{dx}{ds} + \cdots \) ein vollständiges Differential sein, also \[ \frac{df_x}{dy} - \frac{df_y}{dx} = 0 \text{ u.s.w.}, \] woraus sich die Gleichungen ergeben \[ \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dz} = 0,\quad \frac{dA}{dy} - \frac{dB}{dx} = 0 \text{ u.s.w.} \] Es existirt also eine Function \(V\) (das “magnetische Potential” des geschlossenen Stromsystems nach Maxwell), sodass \[ (3)\quad A=-\frac{dV}{dx} \text{ u.s.w.,}\quad \varDelta V=0, \] wodurch die Gleichungen (2) und \((2^{\text{a}})\) übergehen in \[ X=-i\int \frac{d}{dx} \left( \frac{dV}{dN} \right) d\sigma,\quad M_x=-i\int \frac{d}{d\vartheta} \left( \frac{dV}{dN} \right) d\sigma, \] wo \(\vartheta\) den Drehungswinkel bezeichnet; oder \[ (4)\quad X=-\int{dW}{dx},\quad M_x=-\frac{dW}{d\vartheta},\quad W=i\int\frac{dV}{dN} d\sigma, \] wo \(W\) die potentielle Energie des Stroms im Magnetfelde bedeutet. Für einen unendlich kleinen Strom wird \(W = id\sigma\frac{dV}{dN}\); wird das Magnetfeld ebenfalls durch einen unendlich kleinen Strom \(i'\) hervorgebracht, so ist ebenso \[ W=i'd\sigma'\frac{dV'}{dN'}, \] folglich \[ V=i'd\sigma'\frac{d\varphi}{dN'},\quad V'=id\sigma \frac{f\varphi}{dN}, \] wo \(\varphi\) eine blosse Function von \((x, y, z)\) und \((x', y', z')\) ist, und zwar eine Function der Entfernung \(r\) der zwei Ströme, da \(W = ii' d\sigma d\sigma' \frac{d^2\varphi}{dNdN'}\) von der Richtung der Coordinatenaxen unabhängig sein muss. Aus der Gleichung \(\varDelta V =0\), d.h. \(\frac{d}{dN'} (\varDelta\varphi)=0\) folgt aber, dass \(\varDelta\varphi\) von \((x', y', z')\), folglich auch von \((x, y, z)\) unabhängig, also gleich einer Constanten \(6h\) ist; bezeichnet also \(a\) eine zweite Constante, so ist \(\varphi=\varphi_0-hr^2+\frac ar\). Dadurch wird \[ W=ii'd\sigma d\sigma' \left\{ 2h\cos(dN,dN') \right. \]
\[ \left. +\frac{a}{r^3} \left[ 3\cos(r,dN)\cos (r,dN') +\cos(dN,dN') \right]\right\}; \] da aber für \(r = \infty \;\; W = 0\) sein muss, so ist \(h = 0\), folglich \(\varphi=\varphi_0\frac ar\). Im elektromagnetischen Masssystem ist \(a = 1\), folglich das magnetische Potential eines unendlich kleinen Stroms \(i\) und eines endlichen Stroms \[ (5)\quad V'=id\sigma \frac{d\frac 1r}{dN},\quad V'=i\int\frac{d\frac 1r}{dN} d\sigma, \] und die potentielle Energie eines endlichen geschlossenen Stroms im Felde eines andern (das “Potential der zwei Ströme auf einander”) \[ (6)\quad W=ii'\iint \frac{d^2\frac 1r}{dNdN'} d\sigma d\sigma'. \] Setzt man \[ F_x=i'\int \frac 1r \frac{dx'}{ds'} ds' \text{ u.s.w.}, \] so ergiebt sich noch \[ (7)\quad \frac{dV}{dx}=\frac{dF_y}{dz} - \frac{dF_z}{dy} \text{ u.s.w.} \] Dadurch und mittels des Hülfssatzes a) geht das Potential zweier endlichen Ströme über in \[ (6^{\text{a}})\quad \begin{cases} W=i\int\frac{dV}{dN} d\sigma \\ =i\int\left[\left( \frac{dF_y}{dz} - \frac{dF_z}{dy} \right) \cos Nx + \cdots \right] d\sigma \\ =-i\int \left( F_x\frac{dx}{ds} + \cdots \right) ds = -ii'\iint \frac 1r \cos(ds,ds')dsds'. \end{cases} \]

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