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Ueber Integrale transcendenter Functionen. (German) JFM 17.0262.01
Nach einem bekannten Satze von Abel lässt sich das Integral \(\int ydx\) worin \(y\) eine algebraische Function von \(x\) bezeichnet, falls es algebraisch ist, in der Form rat. \(f(x,y)\) darstellen, Dieser Satz wird zunächst in folgender Weise erweitert: Sei \(y_1\) ein Integral einer beliebigen algebraischen Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung, und das Integral \(\int f(x, y_1, y_1',\dots,y^{(\mu)}_1)dx\), worin \(f\) eine algebraische Function der hingeschriebenen Argumente ist, sei algebraisch durch \(y\) und deren Ableitungen darstellbar, so lässt sich dasselbe in der Form rationale Function \((x, y_1, y_1', \dots,y^{(m)}_1,\;f)\) ausdrücken, und zwar gilt die Relation für jeden Zweig von \(f\). Ist die Differentialgleichung in \(y\) in Bezug auf \(y^{(m)}\) algebraisch irreductibel und genügt \(y_1\) nicht einer gleichartigen Differentialgleichung niederer Ordnung, so bleibt die Relation auch für jedes Integral der Differentialgleichung erhalten. Insofern obiges Integral \(\int fdx\) als Lösung der Gleichung \(\frac{dz}{dx}=f\) angesehen werden kann, wird das Resultat auf beliebige lineare nicht homogene Differentialgleichungen in folgender Form übertragen: Es sei die Differentialgleichung \[ (1)\quad \left\{\begin{aligned} & z^{(\mu)}+f_1(x_1, Y_1, Y_1',\dots,Y_2, Y_2',\dots,Y_\varrho, Y_\varrho',\dots)z^{(\mu-1)}+\dots \\ \dots & +f_\mu(x, Y_1, Y_1',\dots, Y_\varrho, Y_\varrho',\dots)z=f(x,Y_1, Y_1',\dots, Y_\varrho, Y_\varrho') \end{aligned} \right. \] gegeben, worin \(f_1,\dots,f_\mu, f\) algebraische Functionen und \(Y_1, Y_2,\dots, Y_\varrho\) Integrale algebraischer Differentialgleichungen von der \(m^{\text{ten}}_1, m^{\text{ten}}_2,\dots, m^{\text{ten}}_\varrho\) Ordnung bedeuten; die Gleichung (1) besitze ferner eine Lösung, die in \(x, Y_1,\dots, Y_\varrho\) und deren Ableitungen algebraisch sei: so existirt auch eine in diesen Elementen und den Coefficienten \(f_1,\dots, f_\mu, f\) rationale Lösung, und zwar muss die erstere Lösung selbst in diesen Grössen rational sein, falls die reducirte Gleichung von (1) kein algebraisches Integral dieser Art oder nur in den Coefficienten rational ausdrückbare Integrale besitzt. Mit Hülfe dieser Sätze geht der Verfasser an die Aufgabe, die Beschaffenheit aller der Transcendenten anzugeben, deren Integral sich als eine algebraische Function der unabhängigen Variabeln und eben dieser Transcendenten darstellen lässt. Es ergiebt sich fürs erste, dass eine solche Transcendente das Integral einer algebraischen Differentialgleichung erster Ordnung sein muss. Soll dieselbe zugleich einer linearen Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung genügen, so muss das allgemeine Integral der ersteren Differentialgleichung eine homogene lineare Function von \(m+1\) particulären Integralen derselben sein, deren Coefficienten Functionen einer willkürlichen Constanten sind. Diese Eigenschaft hat jedoch, wie der Verfasser früher nachgewiesen, eine Differentialgleichung erster Ordnung nur dann, wenn dieselbe eine lineare oder eine durch eine algebraische Substitution aus einer linearen abgeleitete ist. Von den Coefficienten der Substitution sind noch gewisse Bedingungen zu erfüllen, die des näheren angegeben werden.

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Full Text: Crelle EuDML