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Additional Remarks. (Bemerkungen dazu.) (German) JFM 17.0353.02
Der leider so früh verstorbene Verfasser füllt in der vorliegenden Abhandlung eine wesentliche Lücke, welche in der allgemeinen Theorie der zweiten Variation einfacher Integrale trotz der Arbeiten von Lagrange, Jacobi, Spitzer, Hesse, Clebsch, Lipschitz, A. Mayer und Lundström bisher noch offen geblieben war, aus und zwar auf einem Wege, dessen weitere Verfolgung ihn zu einer neuen, von der bisherigen principiell abweichenden Ableitungsweise der ganzen Theorie überhaupt geführt hat; dieselbe zeichnet sich aus durch die Einfachheit des zu Grunde liegenden Gedankens und die Natürlichkeit, mit der alle analytischen Operationen sich aus jenem ergeben, wirft auf die innere Bedeutung der Kriterien des Maximums und Minimums ein neues Licht und lässt den Gebrauch gewisser Hülfsmittel, deren Hineinziehung in die Untersuchung bisher nur durch den Erfolg gerechtfertigt war, schon im voraus hinreichend motivirt erscheinen. Handelt es sich um die Aufsuchung des Minimums des Integrals \[ J=\int_{x^0}^{x^1} F(x,y_1,y_1',\dots,y_n,y_n')dx, \] so müssen bekanntlich die Functionen \(y_1,\dots,y_n\) zunächst die Integrale eines gewissen Systems von Differentialgleichungen zweiter Ordnung sein, deren willkürliche Constanten \(c_1,c_2,\dots\) durch die Anfangs- und Endwerte und überhaupt durch die zu irgend zwei Werten von \(x\) gehörigen Werte von \(y_1,\dots,y_n\) bestimmt sind, und es kommt nun darauf an, zu entscheiden, ob diese Functionen \(J\) wirklich zu einem Minimum machen. Zu diesem Ziele führt die Anwendung eines einfachen Princips, welches, wenn ein Wertsystem \(x,y_1,\dots,y_n\) ein Punkt, ein Functionensystem \(y_1,\dots,y_n\) eine Curve und , wenn dies den Differentialgleichungen des Problems genügt, eine Minimalcurve genannt, und der zu einem Constantensystem \(c_1,c_2,\dots\) gehörige Wert des Integrals mit \(J_c\) bezeichnet wird, folgendermassen lautet: “Macht die zwischen den gegebenen Punkten \(A^0\) und \(A^1\) beschriebene Curve \(c\) das Integral \(J\) zu einem Minimum, so ist, wenn \(b\) irgend eine andere, genügend nahegelegene, aus mehreren Stücken \(b',b'',\dots\) bestehende Verbindungslinie jener beiden Punkte bedeutet, 1) nicht nur \[ J_{b'+b''+\dots}-J_c>0 \] und , wenn man die Stücke \(b',b'',\dots\) durch Minimalcurven \(c',c'',\dots\) zwischen denselben Endpunkten ersetzt, \[ J_{c'+c''+\dots}-J_c>0 \] sondern es lässt sich 2) ausserdem noch erwarten, dass auch \[ J_{b'}-J_{c'}>0,\quad J_{b''}-J_{c''}>0 \dots \] sein wird. Umgekehrt ist ohne weiteres klar, dass die Relationen der letzten Gruppe, wenn sie für jede Curve \(b\) und jede Zerlegung einer solchen in einzelne Stücke gelten, für sich allein hinreichend sind, um das Bestehen des Minimums zu erweisen; denn setzen wir speciell \(b'=b,\;b''=0,\;b'''=0,\dots\), so erhalten wir die für das Minimum charakteristische Relation \(J_b-J_c>0\).” Ein directer Beweis dieses Princips wird nicht gesucht, braucht auch nicht gesucht zu werden; es dient nur als Wegweiser für den Gang der Entwickelung. Die Verfolgung des in den ersten Teil des Princips enthaltenen Gedankens, die auch die Einführung der Grössen \(u_{i\lambda}= \frac{\partial y_i}{\partial c_\lambda}\), welche bei Clebsch und den späteren Bearbeitern der Theorie willkürlich erscheinen musste, als ganz natürlich erweist, führt auf die Notwendigkeit der beiden im wesentlichen von Jacobi herrührenden Bedingungen des Minimums: I. Die quadratische Form \[ \sum_{i,h}^n\;\frac{\partial^2F}{\partial y_i'\partial y_h'}\;\eta_i\eta_h \] darf im Intervalle \(x^0\dots x^1\) für kein System von Werten der Grössen \(\eta_1,\dots,\eta_n\) negativ werden; II. die Determinante \[ \varDelta(x,x^0)=\textstyle\sum\pm u_{11}\dots u_{nn}u_{1,n+1}^0\dots u_{n,2n}^0, \] wo \[ u_{\kappa\lambda}^0=[u_{\kappa\lambda}]_{x=x^0} \] ist, darf in demselben Intervalle nicht ihr Zeichen wechseln. Mit dem Nachweis der Notwendigkeit dieses zweiten Kriteriums ist dann auch diejenige Lücke in der Theorie der zweiten Variation ausgefüllt, auf die oben hingewiesen worden ist. Hesse hatte es nämlich zwar schon als wahrscheinlich bezeichnet, dass, wenn \(\varDelta(x,x^0)\) für einen gewissen zwischen \(x^0\) und \(x^1\) liegenden Wert verschwindet, die zweite Variation nicht nur verschwinden, sondern beide Vorzeichen annehmen, ein Minimum also nicht stattfinden kann; ein Beweis hierfür war aber bisher nur für den speciellen Fall \(n=1\) von Herrn Erdmann (Schlömilch Z. XXIII. 367, cfr. F. d. M. X. 1878. 268f., JFM 10.0268.01) erbracht worden. Der zweite Teil des Grundprincips führt, weiterverfolgt, unter Voraussetzung der bereits als notwendig erkannten Bedingung II. zu der Erwartung, dass eine gewisse quadratische Form \(\varOmega_2(\eta,\eta')\) von \(\eta_1,\eta_1',\dots,\eta_n,\eta_n'\) für beliebige Werte von \(x\) und den \(2n\) Grössen \(\eta,\eta'\), nicht negativ sein darf, falls ein Minimum stattfinden soll; umgekehrt zeigt sich, dass diese Bedingung zusammen mit II. für die Existenz des Minimums hinreicht. Jene Erwartung erweist sich aber einfach dadurch als richtig, dass sich die Bedingung \(\varOmega_2(\eta,\eta')\geqq 0\) als eine notwendige Folge der bereits streng begründeten Bedingung I. herausstellt; die Function \(\varOmega_2(\eta,\eta')\) lässt sich nämlich auf die Form bringen \[ \varOmega_2(\eta,\eta')=\sum_{i,h=1}^n \;\frac{\partial^2 F}{\partial y_i'\partial y_h'}\;\omega_i\omega_h, \] wo die Grössen \(\omega_i,\dots,\omega_n\) linear aus den \(\eta_i,\eta'_i\) zusammengesetzt sind. Hiermit ist, ausser dem Beweise, dass die Bedingungen I. und II. für das Minimum hinreichend sind gleichzeitig eine neue Einsicht in die Bedeutung des ersten Jacobi’schen Kriterium gewonnen, welches hier in zwei verschiedenen Formen, als Bedingung I. und in der Form \(\varOmega_2(\eta,\eta')\geqq 0\) auftritt. Der Uebergang von der einen zur andern ist nichts anderes, als die Clebsch’sche Transformation der zweiten Variation und zwar gleich bei derjenigen Wahl gewisser bei Clebsch willkürlichen Constanten, welche Herr Mayer vornehmen musste, um aus der Transformation endgültige Schlüsse über das Maximum oder Minimun zu ziehen. Während bei Clebsch die Einsicht, dass die Form \(\varOmega_2(\eta,\eta')\) für alle Werte ihrer \(2n\) Argumente positiv sein müsse, von der Möglichkeit der Reduction auf \(n\) Argumente ahhängt, ergiebt sie sich hier unmittelbar aus inneren Gründen.
Der allgemeinen Theorie schickt der Verfasser den speciellen Fall \(n=1\) voraus, welcher noch besondere Vorteile für die Behandlung bietet. Die allgemeinen Untersuchungen erstrecken sich auf den Fall, dass die Functionen \(y_i\) im voraus durch gewisse endliche und Differentialgleichungen mit einander verknüpft sind, letztere jedoch von der Art, dass im allgemeinen Functionen existiren, welche ihnen genügen und für jeden von zwei beliebigen Werten von \(x\) beliebige Werte annehmen können; ausserdem wird ausdrücklich vorausgesetzt, dass die Lagrange’schen Multiplicatorenmethode auf das Problem anwendbar ist. Die allgemeinen Untersuchungen werden schliesslich auf die isoperimetrischen Probleme angewandt, und zu diesem Zwecke wird zuvor ein strenger Beweis der Lagrange’schen Regel für diesen Fall erbracht.
In den angefügten Bemerkungen wird mitgeteilt, dass Herr Mayer inzwischen einen völlig befriedigenden Beweis für die Anwendbarkeit der Lagrange’schen Regel auch in dem allgemeinen Fall gefunden hat (vgl. das folgende Referat, JFM 17.0357.01). Ausserdem wird darauf aufmerksam gemacht, dass die angegebenen Kriterien des Maximums oder Minimums nur gültig sind, wofern man das über eine Curve erstreckte Integral bloss mit solchen Integralen vergleicht, welche sich auf “benachbarte” Curven beziehen, d. h. solche, die nicht bloss innerhalb eines die gegebene Curve einschliessenden schmalen Flächenstreifens liegen, sondern zugleich in ihrem Verlaufe überall nahezu parallel zu ihr bleiben. Lässt man die Bedingung der angenäherten Parallelität fallen, so sind die aus der Betrachtung der zweiten Variation hervorgehenden Kriterien zwar immer noch notwendig, aber nicht mehr hinreichend.

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
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References:
[1] Leipz. Ber. 12. Jan. 1885. Vergl. auch Band 26 dieser Annalen, Heft 1.
[2] Genaueres hierüber findet man in meinem inzwischen erschienenen Aufsatze ?Ueber die Bedeutung der Begriffe Maximum und Minimum in der Variationsrechnung? (Leipz. Ber. 2. März 1885), welcher ebenfalls in den Mathematischen Annalen zum Abdruck gelangen soll.
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