×

zbMATH — the first resource for mathematics

New research on functional equations. (Nouvelles recherches sur les équations fonctionnelles.) (French) JFM 17.0370.02
Im vorigen Bande des Jahrbuches S. 377 (JFM 16.0377.02) haben wir die von Herrn Koenigs aufgestellte Function \(B(z)\) vorgeführt. Sie verschwindet für den Grenzpunkt \(z = x\); dabei ist \(B'(x) = 1\). Sie erfüllt die Gleichung \[ (\alpha)\quad B\{\varphi(z)\} = \varphi'(x)B(z), \] und es besteht der Satz, dass man in der Functionalgleichung \[ \varXi[\varphi(z)]=\kappa\varXi(z) \] die Constante \(\kappa\) so bestimmen kann, dass jede im Punkte \(x\) holo- oder meromorphe Lösung derselben nur durch einen constanten Factor sich von einer Potenz von \(B(z)\) unterscheidet und zwar, wenn \(n\) der Exponent dieser Potenz ist, \(\kappa\) den Werth \([\varphi'(x)]^n\) hat.
Herr Koenigs ermittelt nun zunächst diejenigen Functionen \(Z(z)\), welche, holomorph in \(x\), diesen Punkt zum Grenzpunkt haben (sodass \(Z(x) = x\) und mod.\(Z'(x) < 1\) ist) und zu einer und derselben Function \(B(z)\) führen. Gemäss der Relation \((\alpha)\) befinden sie sich unter den Functionen \(Z(z, k)\), welche die Gleichung \[ (\lambda)\quad B(Z)=kB(z) \] erfüllen, wo \(k\) eine beliebige Constante ist. Und zwar sind die Functionen \(B(z, k)\), in welchen mod. \(k < 1\) ist, und nur sie die gesuchten.
Zwei Functionen \(Z(z, k)\) und \(Z(z, k')\) genügen der Relation \[ \text{(a)}\quad Z[Z(z, k'), k] = Z(z, kk'). \] Es ist also \[ Z[Z(z, k), k'] = Z[Z(z, k'), k], \] d. h. zwei Functionen \(Z\) besitzen die durch die Gleichung \[ \text{(G)}\quad \varXi\{ \varphi(z)\} = \varphi\{ \varXi(z) \} \] ausgedrückte Eigenschaft.
Bei Untersuchung der Functionen \(Z(z, k)\) spielen die Curven, längs welchen der Modul oder das Argument von \(B(z)\) constant ist, eine Rolle. Zur Curve mod. \(B(z)=\mu\) gehört bei hinlänglich kleinem \(\mu\) ein den Punkt \(x\) umschliessendes Oval \(O_\mu\) innerhalb dessen die Gleichung \((\lambda)\) im Falle, dass mod. \(k< 1\) ist, eine und nur eine Wurzel \(Z\) innerhalb \(O_\mu\) besitzt. Als Function von \(z\) ist diese Wurzel \(Z\), welche mit der oben definirten Function \(Z(z,k)\) übereinstimmt, holomorph innerhalb \(O_\mu\).
Aus (a) folgt die iterative Gleichung \[ Z_p(z, k)= Z(z, k^p). \] Man erkennt daraus, dass die iterative Gleichung \[ \varXi_p(z)=\varphi(z), \] im Falle dass \(\varphi(z)\) eine Function \(Z(z, k_0)\) ist, \(p\) im Grenzpunkte \(x\) derjenigen Functionen \(Z(z, k)\), wofür mod. \(k< 1\) ist, holomorphe Lösungen \[ \varXi(z)=Z(z,\root p\of{k_0}) \] zulässt. Es gehört aber eine gegebene Function \(\varphi(z)\) zu einer Gruppe von \(Z\)-Functionen jedesmal, wenn die Gleichung \(\varphi(z)-z =0\) eine Wurzel hat, wofür \(\varphi'(z)\) weder 0 noch 1 ist. Und zwar hat man \(k_0=\varphi'(x)\).
Die Functionen \[ \varphi_\omega(z)=Z(z,[\varphi'(x)]^\omega), \] worin \(\varphi\) beliebig ist, lösen die von Herrn Korkine in Darb. Bull. (2) VI. p. 228-232 (1882) gestellte und mittels unbestimmter Coefficienten behandelte Aufgabe, zu einer vorgelegten Function \(\varphi(z)\) eine Function \(\varphi_\omega(z)\) zu bestimmen, die der Gleichung \[ \varphi_\omega(z).\varphi_{\omega'}(z) = \varphi_{\omega+\omega'} (z) \] genügt und für positive ganzzahlige Werte von \(\omega\) mit dem iterativen Symbol \(\varphi_p(z)\) übereinstimmt.
Eine Verallgemeinerung von (G) ist die Gleichung \[ \varXi[\varphi(z)] = \psi[\varXi(z)]. \] Unter einer gewissen Bedingung hat sie nicht bloss ein, sondern unendlich viele holomorphe Integrale, deren Untersuchung zur Aufstellung von vier Gruppen von Functionen führt, welche sich unter einander vertauschen, wenn man in einer von ihnen das Argument \(z\) durch eine der Functionen ersetzt.
Einige einfache Beispiele dienen zur Erläuterung der allgemeinen Betrachtungen.

MSC:
30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable
Citations:
JFM 16.0377.02
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML