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Application of the theorem of M. Mittag Leffler to doubly periodic functions of the third kind. (Application du théorème de M. Mittag-Leffler aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce.) (French) JFM 17.0381.01
Herr Appell giebt hier eine neue und interessante Auwendung des Mittag-Leffler’schen Theorems, bei welcher die Grade der ganzen Functionen, welche zur Herstellung der Convergenz dienen, in’s Unendliche wachsen. Die Functionen um deren Darstellung es sich handelt, sind Quotienten von \(\vartheta\)-Producten und lassen sich analytisch dadurch definiren, dass sie im Endlichen nur ausserwesentlich singuläre Stellen besitzen und den Functiongleichungen \[ (1)\quad \begin{cases} F(x+2K)=F(x), \\ F(x+2iK')=\lambda e^{-\frac{\mu\pi xi}{K}} F(x) \end{cases} \] genügen. Hier bedeuten \(2K\), \(2iK'\) die Perioden, \(\lambda\) eine Constante und \(\mu\) eine positive ganze Zahl. Ist \(\alpha\) eine Unstetigkeitsstelle von \(F(x)\), \(A\) das zugehörige Residuum, so ist auch jede cougruente Stelle \[ (2)\quad \alpha+2mK+2niK' \eqno (m\text{ und }n\text{ ganze Zahlen }) \] eine Unstetigkeitsstelle und \[ A\lambda^n e^{-\mu\frac{n\pi \alpha i}{K}} q^{-\mu n(n-1)} \eqno \left( q=e^{-\frac{\pi K'}{K}} \right) \] das zugehörige Residuum.
Es wird nun zunächst folgende Aufgabe gelöst: Sei \[ \varphi_n(x)=\lambda^n e^{-\mu\frac{n\pi \alpha i}{K}} q^{-\mu n(n-1)} \cot\;\frac{\pi}{2K} (x-\alpha-2niK'), \] wo \(n\) irgend eine ganze Zahl bezeichnet. Es soll eine eindeutige Function \(\varPhi(x)\) bestimmt werden, welche nur an den Stellen (2) und zwar so unstetig wird, dass \[ \varPhi(x)-\varphi_n(x) \] stetig bleibt.
Eine Function der verlangten Beschaffenheit wird nach der Methode von Mittag-Leffler dargestellt durch die Summe: \[ \varPhi(x)=\sum_{-\infty}^{+\infty} {}_n [\varphi_n(x)-g_n(x)], \] unter \(g_n(x)\) geeignete ganze Functionen von \(\sin\;\frac{x\pi}{K}\) und \(\cos \frac{x\pi}{K}\) verstanden. Herr Appell zeigt nun, dass die Functionen \(g_n(x)\) der Gleichung \[ \varphi_n(x)-g_n(x)=\lambda^n e^{-\mu\frac{n\pi xi}{K}} q^{\mu n(n+1)} \cot\;\frac{\pi}{2K}(x-\alpha-2niK') \] gemäss gewählt werden können, so dass \[ \varPhi(x)=\sum_{-\infty}^{+\infty} {}_n \lambda^n e^{-\mu\frac{n\pi xi}{K}} q^{\mu n(n+1)} \cos \frac{\pi}{2K}(x-\alpha-2niK') \] wird. Betrachtet man jetzt die Differenz \[ F(x)-\frac{A\pi}{2K} \varPhi(x), \] so stellt dieselbe offenbar eine Function vor, welche an der Stelle \(\alpha\) und an den congruenten Stellen nicht mehr unstetig wird. Daher ist \[ F(x)=\frac{\pi}{2K} \varSigma A\varPhi(x)+G(x), \] wo das Summationszeichen sich auf die verschiedenen incongruenten Unstetigkeitsstellen von \(F(x)\) bezieht und \(G(x)\) eine (transcendente) ganze Function von \(x\) bezeichnet. Da letztere den Gleichungen (1) genügen muss, so lässt sie sich bekanntlich als lineare Function mit constanten Coefficienten von \(\mu\) \(\vartheta\)-Functionen darstellen.
Der Fall, in welchem die Zahl \(\mu\) in den Gleichungen (1) nicht eine positive, sondern eine negative ganze Zahl bedeutet, bietet weniger Interesse dar, da in diesem Falle die Summe \(\varSigma \varphi_n(x)\) für sich convergirt, also die Bestimmung der ganzen Functionen \(g_n(x)\) fortfällt. Schliesslich mache ich noch auf zwei Abhandlungen desselben Verfassers aufmerksam, welche in den Annales de l’École Normale (1884 und 1885) erschienen sind und welche sich auf dieselben Functionen beziehen. (F. d. M. XVI. 1884. 383 (JFM 16.0383.01) und dieser Band p. 409 (JFM 17.0409.02).

MSC:
33E05 Elliptic functions and integrals
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