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Series expansions of doubly periodic functions of the third kind. (Développements en série des fonctions doublement périodiques de troisième espèce.) (French) JFM 17.0409.02

Fortsetzung der früheren Arbeiten über Zerlegung doppelt-periodischer Functionen in einfache Elemente (F. d. M. XV. 1883. 340 (JFM 15.0340.01), XVI. 1884. 383 (JFM 16.0383.01)). Die doppeltperiodischen Functionen dritter Gattung, welche meromorphe Functionen sind, lassen sich unter der Form eines Productes von \(\theta\)-Functionen, dividirt durch ein Product von \(\theta\)-Functionen darstellen. Wenn im Zähler \(m\) \(\theta\)-Functionen mehr als im Nenner vorkommen, so kann man, wie Herr Appell gezeigt hat, die Function auf folgende Weise in einfache Elemente zerlegen. Wenn die Function die Gleichungen \[ F(z+2K)=F(z),\quad F(z+2iK')=e^{\frac{m\pi zi}{K}} F(z) \] erfüllt, so seien \(a, b, \dots, l\) die als einfach vorkommend vorausgesetzten Pole, welche diese Function in einem Periodenparallelogramm besitzt, und \(A, B,\dots L\) die entsprechenden Residuen; ferner sei \[ \chi_m(x,y) = \frac{\pi}{2K} \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{\frac{mn\pi yi}{K}} q^{mn(n-1)} \cot \frac{\pi}{2K} (x-y-2niK'); \] alsdann hat man die Zerlegung \[ F(z)=A\chi_m(z,a)+ B\chi_m(z,b)+ \cdots +L\chi_m(z,l), \] und die \(A, B,\dots, L\) sind durch \(m\) lineare homogene Gleichungen verbunden. Betrachten wir nun eine Function \(\varPhi(z)\) der dritten Gattung, welche \(m\) \(\theta\)-Functionen mehr im Nenner als im Zähler enthält und die Gleichungen \[ \varPhi(z+2K)=\varPhi(z),\quad \varPhi(z+2iK')=e^{-\frac{m\pi zi}{K}} \varPhi(z) \] erfüllt; sind \(a, b,\dots,l\) die Pole, einfach vorausgesetzt, und \(A,B,\dots,L\) die Residuen im Periodenparallelogramm \[ z_0, z_0+2K, z_0+2K+2iK', z_0+2iK', \] so hat man die Zerlegung \[ \varPhi(z)=-A\chi_m(a,z)- B\chi_m(b,z)- \cdots -L\chi_m(l,z)+G(z), \] wo zwischen \(A, B,\dots, L\) keine Relation besteht, und wo \(G\) eine ganze Function bezeichnet, welche die Gleichungen \[ G(z+2K)=G(z),\quad G(z+2iK')=e^{-\frac{m\pi zi}{K}} G(z) \] erfüllt und von der Form \[ G(z)=\lambda_0 G_0^{(m)} (z) + \lambda_1G_!^{(m)}(z) + \cdots +\lambda_{m-1} G_{m-1}^{(m)}(z) \] ist, wo \[ G_\nu^{(m)}(z) = e^{\frac{\nu\pi zi}{K}} \sum_{n=-A}^{n=+A} e^{\frac{mn\pi zi}{K}} q^{mn(n-1)+2n\nu} \]
\[ (\nu=0,1,2,\dots,m-1). \] Die Resultate dieser Zerlegung sind in der ersten Note (JFM 17.0409.01) angegeben, während die zweite Abhandlung die Beweise und Anwendungen enthält. Die Beweismethode ist diejenige, welche Herr Hermite für die Zerlegung der elliptischen Functionen in einfache Elemente angewandt hat.

MSC:

14H52 Elliptic curves
11G05 Elliptic curves over global fields

Keywords:

elliptic curves
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Full Text: DOI Numdam EuDML