On the reduction of hyperelliptic integrals. (Sur la réduction des intégrales hyperelliptiques.) (French) JFM 17.0466.01

Goursat, E.

Bull. Soc. Math. Fr. 13, 143-162 (1885).

Die Reduction hyperelliptischer und Abel’scher Integrale auf elliptische ist in den letzten Jahren Gegenstand einer grossen Zahl von Abhandlungen gewesen, von Königsberger, Picard, Poincaré u. a. Die vorliegende Behandlung, welche sich auf die Reduction der hyperelliptischen Integrale beschränkt, ist eine rein algebraische, ohne Berücksichtigung der Theorie der Thetafunctionen mehrerer Variabeln. Der Herr Verfasser zeigt, dass sich das Jacobi’sche Theorem der algebraischen Transformation der Quadratwurzeln aus Polynomen vierten Grades in folgender Weise verallgemeinern lässt. Es sei \[ P(x)=A(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_{2p}) \] und \(x = \frac UV\) eine rationale Substitution vom Grade \(D\), so dass \[ \sqrt{P(x)} = \psi(t)\sqrt{Q(t)}; \] alsdann ist \[ \frac{dx}{\sqrt{P(x)}} = \frac{V^{p-2}(U'V-UV')dt}{ \sqrt{(U-a_1V)(U-a_2V)\dots(U-a_{2p}V)}}. \] Jeder vielfache Factor von der Ordnung \(r\) einer der Gleichungen \[ U-a_iV=0 \] kommt in \(U'V-UV'\) in der Potenz \(r-1\) vor; wenn \(r\) gerade, \(= 2m\), so bleibt der Factor nach dem Heben im Zähler nur in der Potenz \(m-1\); wenn \(r\) von der Form \(2m+1\), bleibt er im Zähler in der Potenz \(m\) und unter dem Wurzelzeichen in der ersten. Nach dem Heben reducirt sich das Radical auf \(\sqrt{Q(t)}\) und der in \(U'V-UV'\) bleibende Factor ist höchstens vom Grade \(\varDelta=2D-2-\sum_{i=1}^{2p}n_i\). Ist nun \(f(x)\) eine ganze Function von \(x\), deren Grad nicht \(p-2\) überschreitet, so hat man vermöge der obigen Substitution \[ \frac{f(x)dx}{\sqrt{P(x)}} = \frac{\sqrt{f_1(t)dt}}{\sqrt{Q(t)}}, \] wo \(f_1(t)\) eine ganze Function von \(t\), deren Grad nicht höher als \(q-2\). Daraus folgt: 1) Es existirt eine unendliche Menge von Polynomen gegebenen Grades \(> 4\), so dass das hyperelliptische Integral \[ \int\frac{f_1(t)dt}{\sqrt{Q(t)}}, \] worin \(f_1(t)\) ein passend gewähltes Polynom ist, sich durch eine rationale Substitution auf ein elliptisches Integral erster Gattung reduciren lässt; der Grad dieser Substitution kann so gross sein, wie man will. 2) Die einzigen rationalen Substitutionen, welche ein hyperelliptisches Integral auf ein anderes hyperelliptisches derselben Art überführen, sind die linearen Substitutionen. 3) Es existirt nur eine endliche Zahl von rationalen Substitutionstypen, welche von einem hyperelliptischen Integrale \((p-1)^{\mathrm ter}\) Gattung zu einem solchen \((q- 1)^{\mathrm ter}\) Gattung \((q > p)\) überführen. 4) Die Coefficienten eines reductiblen Typus \((q-1)^{\mathrm ter}\) Gattung hängen, auf die Normalform gebracht, höchstens von \(q-1\) willkürlichen Parametern ab.
Im Folgenden wird der einfachste Fall, wo \(p = 2, q = 3\) ist, betrachtet, also die Reduction der hyperelliptischen Integrale der zweiten Gattung. Als Beispiele dienen die Werte \(D = 2,3,4,5.\)

Reviewer: Müller, F., Prof. (Berlin)

MSC:

14K20

Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. C. Hyperelliptische, Abel’sche und verwandte Functionen.

Keywords:

abelian integrals